高数速成复习 05：不定积分

不定积分单独出大题的情况不多，但后面的定积分、微分方程、重积分、曲线曲面积分，最后都要落到“求原函数”上。这一章的目标是：看到被积函数，知道该用哪种方法，并且算得又快又准。

一、本章地图#

模块	要掌握什么	常见考法
原函数概念	原函数存在性、不定积分与导数互逆	选择题
基本积分表	约 20 个公式	基本功
第一换元（凑微分）	常见凑微分形式	所有积分题
第二换元	三角代换、根式代换、倒代换	解答题
分部积分	“反对幂指三”、表格法、循环积分	解答题
有理函数积分	部分分式分解	解答题
三角有理式	恒等变形、万能代换	解答题
分段函数	原函数要连续	选择、解答

拿到一个积分，按下面的顺序考虑：

二、核心概念#

1. 原函数与不定积分#

若在区间 $I$ 上 $F'(x)=f(x)$ ，称 $F$ 是 $f$ 的一个原函数。 $f$ 的全体原函数称为不定积分：

\int f(x)\,\mathrm dx=F(x)+C.

同一个函数的两个原函数只差一个常数（由第 03 篇的推论：导数相同的函数只差常数）。

2. 积分与求导互逆#

\left[\int f(x)\,\mathrm dx\right]'=f(x),\qquad\int F'(x)\,\mathrm dx=F(x)+C.

先积后导，原样不变；先导后积，要加 $C$ 。

3. 原函数存在性#

必背结论

在区间 $I$ 上连续的函数，一定有原函数。
在区间 $I$ 内有第一类间断点（可去或跳跃）的函数，在 $I$ 上没有原函数。
有第二类间断点的函数，可能有原函数，也可能没有。

第 3 条的例子： $F(x)=x^2\sin\dfrac1x$ （ $F(0)=0$ ）处处可导，

F'(x)=f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\ne0\\[2mm]0,&x=0\end{cases}

$f$ 在 $x=0$ 处是第二类（振荡）间断点，但它有原函数 $F$ 。这个例子在第 02 篇的易错点中出现过。

4. 原函数与定积分的区别#

“有原函数”和“定积分存在（可积）”是两回事：

有跳跃间断点的函数，没有原函数，但在闭区间上可积（第 06 篇详细讲）。
上面的 $f(x)$ 有原函数，但它在 $0$ 附近无界，这一点不影响原函数存在。

三、必背公式#

1. 基本积分表#

\begin{aligned} &\int x^a\,\mathrm dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\ne-1) && \int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C\\ &\int a^x\,\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C && \int e^x\,\mathrm dx=e^x+C\\ &\int\sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C && \int\cos x\,\mathrm dx=\sin x+C\\ &\int\tan x\,\mathrm dx=-\ln\lvert\cos x\rvert+C && \int\cot x\,\mathrm dx=\ln\lvert\sin x\rvert+C\\ &\int\sec x\,\mathrm dx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C && \int\csc x\,\mathrm dx=\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C\\ &\int\sec^2x\,\mathrm dx=\tan x+C && \int\csc^2x\,\mathrm dx=-\cot x+C\\ &\int\sec x\tan x\,\mathrm dx=\sec x+C && \int\csc x\cot x\,\mathrm dx=-\csc x+C \end{aligned}

必背·含

a

的公式（

a>0

）

$\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\qquad\int\frac{\mathrm dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x-a}{x+a}\right\rvert+C$ $\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right\rvert+C$ $\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C$

2. 常见凑微分形式#

被积函数中出现	凑成
$x\,\mathrm dx$	$\frac12\,\mathrm d(x^2)$
$\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt x}$	$2\,\mathrm d\sqrt x$
$\dfrac{\mathrm dx}{x^2}$	$-\mathrm d\left(\dfrac1x\right)$
$\dfrac{\mathrm dx}{x}$	$\mathrm d(\ln x)$
$e^x\,\mathrm dx$	$\mathrm d(e^x)$
$\cos x\,\mathrm dx$ 、 $\sin x\,\mathrm dx$	$\mathrm d(\sin x)$ 、 $-\mathrm d(\cos x)$
$\sec^2x\,\mathrm dx$	$\mathrm d(\tan x)$
$\dfrac{\mathrm dx}{1+x^2}$	$\mathrm d(\arctan x)$
$\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$\mathrm d(\arcsin x)$
$\mathrm dx$	$\frac1a\,\mathrm d(ax+b)$

3. 分部积分公式#

\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du.

4. 三种代换#

结构	代换	用到的恒等式
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$1-\sin^2t=\cos^2t$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$1+\tan^2t=\sec^2t$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$\sec^2t-1=\tan^2t$
$\sqrt[n]{ax+b}$ 、 $\sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$	令整个根式 $=t$	去掉根号
三角有理式 $R(\sin x,\cos x)$	$t=\tan\dfrac x2$	$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ ， $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $\mathrm dx=\dfrac{2\,\mathrm dt}{1+t^2}$

四、题型与解题套路#

题型 1：凑微分（第一换元法）#

识别特征：被积函数可以写成 $f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)$ ，即“某个函数的复合”乘上“里层函数的导数”。

解法：

\int f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)\,\mathrm dx=\int f(u)\,\mathrm du\Big|_{u=\varphi(x)}.

例 1 求下列积分：

$\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm dx$
$\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(1+\ln x)}$
$\displaystyle\int\frac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,\mathrm dx$

解

$x\,\mathrm dx=\frac12\,\mathrm d(1+x^2)$ ，原式 $=\dfrac12\ln(1+x^2)+C$ 。
$\dfrac{\mathrm dx}{x}=\mathrm d(1+\ln x)$ ，原式 $=\ln\lvert1+\ln x\rvert+C$ 。
$\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt x}=2\,\mathrm d\sqrt x$ ，原式 $=2e^{\sqrt x}+C$ 。

例 2 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2+2x+5}$ 。

解二次式不能分解时，先配方： $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ 。

\int\frac{\mathrm d(x+1)}{(x+1)^2+2^2}=\boxed{\frac12\arctan\frac{x+1}{2}+C}.

例 3 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+e^x}$ 。

解分子加一项减一项 $e^x$ ：

\int\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}\,\mathrm dx=\int\mathrm dx-\int\frac{\mathrm d(1+e^x)}{1+e^x}=\boxed{x-\ln(1+e^x)+C}.

凑微分的信号

被积函数里同时出现 $\varphi(x)$ 和 $\varphi'(x)$ ，比如同时有 $\ln x$ 和 $\frac1x$ 、同时有 $\arctan x$ 和 $\frac{1}{1+x^2}$ ，基本就是凑微分。

题型 2：三角函数的积分#

解法：

形式	方法
$\sin^mx\cos^nx$ ，有一个是奇次	拆出一个奇次的因子去凑微分，其余用 $\sin^2+\cos^2=1$ 化掉
$\sin^mx\cos^nx$ ，都是偶次	用倍角公式降次
$\sin ax\cos bx$ 等	积化和差
$\tan^nx$ 、 $\sec^nx$	用 $\tan^2x=\sec^2x-1$ ，凑 $\mathrm d(\tan x)$

例 4 求 $\displaystyle\int\sin^3x\,\mathrm dx$ 。

解奇次，拆出一个 $\sin x$ ：

\int\sin^2x\cdot\sin x\,\mathrm dx=-\int(1-\cos^2x)\,\mathrm d(\cos x)=\boxed{-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C}.

例 5 求 $\displaystyle\int\sin^2x\cos^2x\,\mathrm dx$ 。

解都是偶次，降次：

\sin^2x\cos^2x=\frac{\sin^22x}{4}=\frac{1-\cos4x}{8},

\text{原式}=\boxed{\frac x8-\frac{\sin4x}{32}+C}.

例 6 求 $\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm dx$ 。

解这类 $\dfrac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}$ 的积分，把分子写成“分母 + 分母的导数”的组合：

\sin x=A(\sin x+\cos x)+B(\cos x-\sin x).

比较系数： $A-B=1$ ， $A+B=0$ ，得 $A=\frac12$ ， $B=-\frac12$ 。于是

\text{原式}=\int\frac12\,\mathrm dx-\frac12\int\frac{\mathrm d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=\boxed{\frac x2-\frac12\ln\lvert\sin x+\cos x\rvert+C}.

题型 3：三角代换#

识别特征：被积函数含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 、 $\sqrt{a^2+x^2}$ 或 $\sqrt{x^2-a^2}$ ，且凑微分做不了。

解法步骤：

按表选代换，去掉根号；
对 $t$ 积分；
画直角三角形，把 $t$ 的三角函数换回 $x$ 。

例 7 求 $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\ (a>0)$ 。

解令 $x=a\sin t$ ， $t\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ ，则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$ ， $\mathrm dx=a\cos t\,\mathrm dt$ 。

\int a^2\cos^2t\,\mathrm dt=\frac{a^2}{2}\int(1+\cos2t)\,\mathrm dt=\frac{a^2}{2}\left(t+\sin t\cos t\right)+C.

回代： $\sin t=\dfrac xa$ ， $\cos t=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ ，得

\boxed{\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C}.

例 8 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}$ 。

解令 $x=\tan t$ ， $\mathrm dx=\sec^2t\,\mathrm dt$ ， $\sqrt{1+x^2}=\sec t$ ：

\int\frac{\sec^2t}{\tan^2t\sec t}\,\mathrm dt=\int\frac{\cos t}{\sin^2t}\,\mathrm dt=-\frac{1}{\sin t}+C.

画三角形：对边 $x$ ，邻边 $1$ ，斜边 $\sqrt{1+x^2}$ ，所以 $\sin t=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 。

\text{原式}=\boxed{-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C}.

回代用直角三角形

由 $x=a\sin t$ 等式子画出直角三角形，三条边都用 $x$ 表示，需要哪个三角函数就直接读出来，不容易出错。

题型 4：根式代换与倒代换#

例 9 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\sqrt x}$ 。

解令 $t=\sqrt x$ ， $x=t^2$ ， $\mathrm dx=2t\,\mathrm dt$ ：

\int\frac{2t}{1+t}\,\mathrm dt=2\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm dt=2t-2\ln(1+t)+C=\boxed{2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+C}.

例 10 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}$ 。

解根指数 2 和 3 的最小公倍数是 6，令 $t=\sqrt[6]x$ ， $x=t^6$ ， $\mathrm dx=6t^5\,\mathrm dt$ ：

\int\frac{6t^5}{t^3+t^2}\,\mathrm dt=6\int\frac{t^3}{t+1}\,\mathrm dt=6\int\left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right)\mathrm dt.

=2t^3-3t^2+6t-6\ln\lvert t+1\rvert+C,\quad t=\sqrt[6]x.

倒代换

分母次数比分子高很多时（如 $\dfrac{1}{x^4\sqrt{1+x^2}}$ ），可以令 $x=\dfrac1t$ ，把高次的分母“翻”上去。

题型 5：分部积分#

识别特征：两类不同的函数相乘，如 $x\,e^x$ 、 $x\ln x$ 、 $e^x\sin x$ ；或者单独一个 $\ln x$ 、 $\arctan x$ 、 $\arcsin x$ 。

选 $u$ 的口诀“反对幂指三”：按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的顺序，排在前面的当 $u$ （留着求导），排在后面的凑进 $\mathrm dv$ 。

例 11 求 $\displaystyle\int\ln x\,\mathrm dx$ 和 $\displaystyle\int x\arctan x\,\mathrm dx$ 。

解第一个， $u=\ln x$ ， $v=x$ ：

\int\ln x\,\mathrm dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,\mathrm dx=\boxed{x\ln x-x+C}.

第二个， $u=\arctan x$ ， $\mathrm dv=x\,\mathrm dx$ ， $v=\dfrac{x^2}{2}$ ：

\int x\arctan x\,\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12\int\frac{x^2}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12(x-\arctan x)+C.

整理得 $\boxed{\dfrac{x^2+1}{2}\arctan x-\dfrac x2+C}$ 。

例 12（表格法） 求 $\displaystyle\int x^2\cos x\,\mathrm dx$ 。

解多项式要分部好几次，用表格法更快：左列对多项式不断求导直到 $0$ ，右列对另一个函数不断积分，然后斜着相乘，符号正负交替。

符号	求导列	积分列
$+$	$x^2$	$\cos x$
$-$	$2x$	$\sin x$
$+$	$2$	$-\cos x$
	$0$	$-\sin x$

斜着相乘：

\text{原式}=x^2\sin x-2x(-\cos x)+2(-\sin x)+C=\boxed{x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C}.

例 13（循环积分） 求 $\displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm dx$ 。

解记 $I=\displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm dx$ 。分部两次：

I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\mathrm dx=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\mathrm dx\right)=e^x(\sin x-\cos x)-I.

原积分又出现了，移项解方程：

I=\boxed{\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C}.

循环积分的两个要点

两次分部时， $u$ 必须选同一类函数（都选三角或都选指数），否则会绕回原点，得到 $I=I$ 。
解出 $I$ 后再补上 $C$ 。

题型 6：有理函数积分#

解法步骤：

若是假分式（分子次数 $\ge$ 分母次数），先做多项式除法，化成多项式 + 真分式；
分母因式分解；
按下表拆成部分分式，求出系数；
每一项分别积分。

分母中的因式	对应的部分分式
$x-a$	$\dfrac{A}{x-a}$
$(x-a)^k$	$\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}$
$x^2+px+q$ （ $p^2<4q$ ）	$\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$

例 14 求 $\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2-5x+6}\,\mathrm dx$ 。

解 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ，设 $\dfrac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}$ 。

用留数法（遮住一个因式，代入它的零点）：

A=\frac{x+3}{x-3}\Big|_{x=2}=-5,\qquad B=\frac{x+3}{x-2}\Big|_{x=3}=6.

\text{原式}=\boxed{-5\ln\lvert x-2\rvert+6\ln\lvert x-3\rvert+C}.

例 15 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(x-1)^2}$ 。

解设 $\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}$ 。

留数法： $A=\dfrac{1}{(x-1)^2}\Big|_{x=0}=1$ ， $D=\dfrac1x\Big|_{x=1}=1$ 。
比较 $x^2$ 的系数：通分后分子为 $A(x-1)^2+Bx(x-1)+Dx$ ， $x^2$ 系数为 $A+B=0$ ，所以 $B=-1$ 。

\text{原式}=\boxed{\ln\lvert x\rvert-\ln\lvert x-1\rvert-\frac{1}{x-1}+C}.

例 16 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(x^2+1)}$ 。

解设 $\dfrac{1}{x(x^2+1)}=\dfrac Ax+\dfrac{Bx+D}{x^2+1}$ 。留数法 $A=1$ ；通分比较 $x^2$ 系数： $A+B=0$ ， $B=-1$ ；比较 $x$ 系数： $D=0$ 。

\text{原式}=\int\left(\frac1x-\frac{x}{x^2+1}\right)\mathrm dx=\boxed{\ln\lvert x\rvert-\frac12\ln(x^2+1)+C}.

题型 7：三角有理式积分#

解法：

先试恒等变形：倍角、半角公式往往一步就能做完；
实在不行，用万能代换 $t=\tan\dfrac x2$ ，化成有理函数。万能代换一定能做，但计算量大。

例 17 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\cos x}$ 。

解半角公式： $1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2$ 。

\int\frac{\mathrm dx}{2\cos^2\frac x2}=\int\sec^2\frac x2\,\mathrm d\left(\frac x2\right)=\boxed{\tan\frac x2+C}.

例 18 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{2+\cos x}$ 。

解恒等变形不好做，用万能代换。令 $t=\tan\dfrac x2$ ：

2+\cos x=\frac{2(1+t^2)+(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2},\qquad\mathrm dx=\frac{2\,\mathrm dt}{1+t^2}.

\text{原式}=\int\frac{2}{3+t^2}\,\mathrm dt=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3}+C=\boxed{\frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt3}\tan\frac x2\right)+C}.

题型 8：分段函数的不定积分#

解法：每一段分别积分，然后利用原函数在分段点处连续，确定各段常数之间的关系，最后只保留一个任意常数 $C$ 。

例 19 求 $\displaystyle\int e^{\lvert x\rvert}\,\mathrm dx$ 。

解分段积分：

F(x)=\begin{cases}e^x+C_1,&x\ge0\\-e^{-x}+C_2,&x<0\end{cases}

原函数可导，所以一定连续。在 $x=0$ 处： $1+C_1=-1+C_2$ ，即 $C_2=C_1+2$ 。记 $C_1=C$ ，

\int e^{\lvert x\rvert}\,\mathrm dx=\boxed{\begin{cases}e^x+C,&x\ge0\\-e^{-x}+2+C,&x<0\end{cases}}

最常见的错误

两段各写一个独立的 $C$ ，或者两段用同一个 $C$ 但没检查连续性。这样得到的“原函数”在分段点处不连续，也就不可导，不是原函数。

题型 9：抽象函数与原函数的关系#

例 20 已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $e^{-x^2}$ ，求 $\displaystyle\int xf'(x)\,\mathrm dx$ 。

解由题意 $f(x)=\left(e^{-x^2}\right)'=-2xe^{-x^2}$ 。对所求积分分部：

\int xf'(x)\,\mathrm dx=xf(x)-\int f(x)\,\mathrm dx=-2x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}+C.

见到

f'

就分部

被积函数中有 $f'(x)$ 或 $f''(x)$ 时，把它凑进 $\mathrm dv$ 做分部积分，就能降一阶。

例 21 设 $f'(\ln x)=1+x$ ，求 $f(x)$ 。

解令 $t=\ln x$ ，则 $x=e^t$ ， $f'(t)=1+e^t$ 。所以

f(t)=t+e^t+C,\qquad\text{即}\ \boxed{f(x)=x+e^x+C}.

例 22（选择题） 下列函数在 $(-1,1)$ 上没有原函数的是：

(A) $f(x)=\lvert x\rvert$
(B) $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\\x,&x<0\end{cases}$
(C) $f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}$
(D) $f(x)=\sin x$

解 (A)、(D) 连续，有原函数。(C) 是 $x^2\sin\frac1x$ 的导数，有原函数。(B) 在 $x=0$ 处有跳跃间断点，没有原函数。答案为 $\boxed{\text{B}}$ 。

五、证明思路#

1. 换元法就是链式法则倒过来#

设 $F'(u)=f(u)$ ，由链式法则

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F\bigl(\varphi(x)\bigr)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x),

所以 $F\bigl(\varphi(x)\bigr)$ 就是 $f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)$ 的原函数。

第二换元法反过来用：令 $x=\psi(t)$ ，要求 $\psi$ 单调可导，才能保证最后能用反函数 $t=\psi^{-1}(x)$ 回代。这就是三角代换要限制 $t$ 的范围的原因。

2. 分部积分就是乘积法则倒过来#

$(uv)'=u'v+uv'$ ，两边积分：

uv=\int v\,\mathrm du+\int u\,\mathrm dv\ \Longrightarrow\ \int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du.

“反对幂指三”的道理：反三角和对数求导后变成代数式，变简单了，所以适合当 $u$ ；指数和三角积分后形式不变，所以适合凑进 $\mathrm dv$ 。

3. 有第一类间断点的函数没有原函数#

设 $F'=f$ 在区间上处处成立， $x_0$ 是 $f$ 的第一类间断点。

由拉格朗日中值定理， $x<x_0$ 时

\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=F'(\xi)=f(\xi),\quad x<\xi<x_0.

令 $x\to x_0^-$ ，得 $F'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ 。同理 $F'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ 。

跳跃间断：左右极限不相等，于是 $F$ 在 $x_0$ 处左右导数不相等， $F$ 不可导，矛盾。
可去间断：左右极限相等但不等于 $f(x_0)$ ，于是 $F'(x_0)\ne f(x_0)$ ，矛盾。

一句话：导函数要么连续，要么有第二类间断点，不会有第一类间断点。

4. 连续函数必有原函数#

构造 $F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,\mathrm dt$ ，第 06 篇会证明 $F'(x)=f(x)$ 。

5. 留数法为什么成立#

以 $\dfrac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}$ 为例，两边同乘 $x-2$ ：

\frac{x+3}{x-3}=A+\frac{B(x-2)}{x-3}.

令 $x=2$ ，右边第二项为 $0$ ，就得到 $A$ 。

六、易错点#

积分结果的形式可以不同

$\displaystyle\int\sin x\cos x\,\mathrm dx$ 可以算出 $\dfrac{\sin^2x}{2}$ 、 $-\dfrac{\cos^2x}{2}$ 或 $-\dfrac{\cos2x}{4}$ （各加 $C$ ）。三者之间只差常数，都对。检验方法是对结果求导，看能不能还原成被积函数。

忘记加 $C$ ，或循环积分中 $C$ 加的位置不对。
$\ln$ 忘记加绝对值： $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C$ 。像 $\ln(1+x^2)$ 、 $\ln(1+e^x)$ 里面恒正，可以不加。
换元后忘记回代：最后结果必须是 $x$ 的函数。
凑微分漏系数： $\displaystyle\int e^{2x}\,\mathrm dx=\frac12e^{2x}+C$ ，不是 $e^{2x}+C$ 。
假分式没先做除法就拆部分分式。
部分分式少写项： $(x-1)^2$ 要对应两项； $x^2+1$ 的分子是 $Bx+C$ ，不是常数。
分段函数的原函数不连续。
以为初等函数的原函数都是初等函数： $e^{-x^2}$ 、 $\dfrac{\sin x}{x}$ 、 $\dfrac{1}{\ln x}$ 的原函数存在，但不能用初等函数表示（俗称“积不出来”）。

七、小练习#

1. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)}$ 。

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连续凑微分： $\dfrac{\mathrm dx}{x}=\mathrm d(\ln x)$ ， $\dfrac{\mathrm d(\ln x)}{\ln x}=\mathrm d\bigl(\ln(\ln x)\bigr)$ 。

原式 $=\displaystyle\int\frac{\mathrm d\bigl(\ln(\ln x)\bigr)}{\ln(\ln x)}=\ln\bigl\lvert\ln(\ln x)\bigr\rvert+C$ 。

2. 求 $\displaystyle\int x^2e^x\,\mathrm dx$ 。

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表格法：求导列 $x^2,\ 2x,\ 2,\ 0$ ；积分列都是 $e^x$ 。

原式 $=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C$ 。

3. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ 。

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令 $t=\sqrt x$ ， $x=t^2$ ， $\mathrm dx=2t\,\mathrm dt$ ：

$\int\frac{2t}{t\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt=2\arcsin t+C=2\arcsin\sqrt x+C.$

4. 求 $\displaystyle\int\frac{2x+3}{x^2+2x+2}\,\mathrm dx$ 。

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分子拆成“分母的导数 + 常数”： $2x+3=(2x+2)+1$ 。

$\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,\mathrm dx+\int\frac{\mathrm dx}{(x+1)^2+1}=\ln(x^2+2x+2)+\arctan(x+1)+C.$

5. 求 $\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,\mathrm dx$ 。

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记为 $I$ ，两次分部都把 $e^{2x}$ 凑进 $\mathrm dv$ ：

$I=\frac12e^{2x}\cos x+\frac12\int e^{2x}\sin x\,\mathrm dx=\frac12e^{2x}\cos x+\frac14e^{2x}\sin x-\frac14I.$

移项得 $\dfrac54I=\dfrac{e^{2x}}{4}(2\cos x+\sin x)$ ，所以

$I=\frac{e^{2x}}{5}(2\cos x+\sin x)+C.$

八、本章小结#

连续函数一定有原函数；有第一类间断点的函数一定没有原函数。
方法选择顺序：恒等变形 → 凑微分 → 换元 → 分部 → 有理函数。
根式： $\sqrt{a^2\pm x^2}$ 、 $\sqrt{x^2-a^2}$ 用三角代换，回代画直角三角形； $\sqrt[n]{ax+b}$ 令整个根式为 $t$ 。
分部积分按“反对幂指三”选 $u$ ；多项式乘积用表格法； $e^x$ 乘三角函数用循环积分。
有理函数：先除法，再分解，留数法求系数。
三角有理式：先试恒等变形，不行再用万能代换。
分段函数的原函数必须连续，只保留一个 $C$ 。

下一篇：06 定积分与反常积分。

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一、本章地图#

二、核心概念#

1. 原函数与不定积分#

2. 积分与求导互逆#

3. 原函数存在性#

4. 原函数与定积分的区别#

三、必背公式#

1. 基本积分表#

2. 常见凑微分形式#

3. 分部积分公式#

4. 三种代换#

四、题型与解题套路#

题型 1：凑微分（第一换元法）#

题型 2：三角函数的积分#

题型 3：三角代换#

题型 4：根式代换与倒代换#

题型 5：分部积分#

题型 6：有理函数积分#

题型 7：三角有理式积分#

题型 8：分段函数的不定积分#

题型 9：抽象函数与原函数的关系#

五、证明思路#

1. 换元法就是链式法则倒过来#

2. 分部积分就是乘积法则倒过来#

3. 有第一类间断点的函数没有原函数#

4. 连续函数必有原函数#

5. 留数法为什么成立#

六、易错点#

七、小练习#

八、本章小结#

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