高数速成复习 04：导数的应用

1. 洛必达法则#

若 $x\to x_0$（或 $x\to\infty$）时：

1. $f(x)$ 与 $g(x)$ 同时趋于 $0$，或同时趋于 $\infty$；
2. $f,g$ 在 $x_0$ 的去心邻域内可导，且 $g'(x)\ne0$；
3. $\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，或为 $\infty$，

则

2. 泰勒公式#

设 $f$ 在 $x_0$ 附近有足够阶的导数，则

余项有两种写法：

$x_0=0$ 时称为麦克劳林公式，第 01 篇的常用展开式就是它。

大白话：泰勒公式就是用多项式去逼近函数。$n=0$ 时的拉格朗日余项形式就是拉格朗日中值定理。

3. 单调性#

在区间 $I$ 内，$f'(x)>0\Rightarrow f$ 单调增；$f'(x)<0\Rightarrow f$ 单调减。

个别点处 $f'(x)=0$ 不影响单调性。例如 $x^3$ 在 $x=0$ 处导数为 $0$，但它在整个实数轴上单调增。

4. 极值#

若在 $x_0$ 的某个去心邻域内 $f(x)<f(x_0)$，称 $f(x_0)$ 为极大值；反之为极小值。极值是局部概念。

极值点只可能出现在两类点：

• 驻点：$f'(x_0)=0$；
• 不可导点。

判断这些候选点是不是极值点，有三种方法：

例如 $x^4$ 在 $x=0$ 处：前三阶导数为 $0$，$f^{(4)}(0)=24>0$，$n=4$ 为偶数，是极小值点。$x^3$ 在 $x=0$ 处：$n=3$ 为奇数，不是极值点。

5. 凹凸性与拐点#

• 凹：对区间内任意 $x_1\ne x_2$，$f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，即弦在曲线上方。
• 判别：$f''(x)>0\Rightarrow$ 凹；$f''(x)<0\Rightarrow$ 凸。

拐点：曲线凹凸性发生改变的点。候选点为 $f''(x_0)=0$ 或 $f''$ 不存在的点，再检查 $f''$ 在两侧是否变号。

6. 渐近线#

铅直渐近线的候选点：分母为 $0$ 的点、无定义点、定义域的有限端点。

7. 曲率（数一）#

曲率 $K$ 描述曲线弯曲得有多厉害：直线的曲率为 $0$，半径为 $R$ 的圆曲率处处为 $\dfrac1R$。

曲率半径 $\rho=\dfrac1K$。曲率圆是在该点与曲线相切、曲率相同、位于曲线凹侧的圆。

题型 1：洛必达与等价替换配合#

例 1 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$。

解 0/0 型，先用一次洛必达：

此时分子分母都是乘积形式，直接等价替换：$\dfrac{x^2}{\frac{x^2}{2}}=\boxed2$。

验证：用第 01 篇的结论，$\dfrac{\frac{x^3}{3}}{\frac{x^3}{6}}=2$，一致。

例 2 求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{100}}{e^x}$。

解 ∞/∞ 型，连续用 100 次洛必达，分子变成常数 $100!$，分母仍是 $e^x$，所以极限为 $\boxed0$。

这正是第 01 篇“增长速度”结论 $x^b\ll e^x$ 的来源。

题型 2：只知道某点的高阶导数，求极限#

识别特征：题目只说 $f$ 在某一点二阶可导，没说 $f''$ 连续。

例 3 设 $f$ 在 $x=0$ 处二阶可导，$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=2$。求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^2}$。

解 $f''(0)$ 存在，说明 $f'$ 在 $0$ 附近存在，可以用一次洛必达：

第二步不能再用洛必达，要用导数定义。

题型 3：求单调区间与极值#

解法步骤：

1. 求定义域；
2. 求 $f'(x)$，找出驻点和不可导点；
3. 用这些点把定义域分段，列表判断 $f'$ 的符号；
4. 写出单调区间和极值。

例 4 求 $f(x)=x^{\frac23}(x-5)$ 的单调区间与极值。

解 定义域为 $\mathbb R$。$f(x)=x^{\frac53}-5x^{\frac23}$，

驻点 $x=2$，不可导点 $x=0$。列表：

单调增区间为 $(-\infty,0]$ 和 $[2,+\infty)$，单调减区间为 $[0,2]$。极大值 $f(0)=0$，极小值 $f(2)=2^{\frac23}\cdot(-3)=-3\sqrt[3]4$。

题型 4：由极限判断极值#

识别特征：题目没给函数表达式，只给了一个含 $f(x)-f(x_0)$ 的极限。

解法：用极限的保号性，判断 $f(x)-f(x_0)$ 在 $x_0$ 附近的符号。

例 5 设 $f(0)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$。判断 $x=0$ 是否为极值点。

解 极限为 $2>0$，由保号性，在 $0$ 的某个去心邻域内 $\dfrac{f(x)}{1-\cos x}>0$。而 $1-\cos x>0$，所以 $f(x)>0=f(0)$。

因此 $x=0$ 是极小值点。

顺便还能得到 $f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x}=2\cdot0=0$。

题型 5：闭区间上的最值#

解法：比较三类点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值：驻点、不可导点、区间端点。

例 6 求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[-2,3]$ 上的最值。

解 $f'(x)=3x^2-3=0$，驻点 $x=\pm1$。计算：

最大值为 $\boxed{18}$，最小值为 $\boxed{-2}$。

题型 6：凹凸区间与拐点#

例 7 求 $y=x^4-2x^3+1$ 的凹凸区间与拐点。

解 $y'=4x^3-6x^2$，$y''=12x^2-12x=12x(x-1)$。$y''=0$ 的点为 $x=0,1$。

两侧都变号，所以拐点为 $\boxed{(0,1)}$ 和 $\boxed{(1,0)}$。

例 8 求 $y=\sqrt[3]x$ 的拐点。

解 $y''=-\dfrac29x^{-\frac53}$，在 $x=0$ 处不存在。$x<0$ 时 $y''>0$（凹），$x>0$ 时 $y''<0$（凸），变号了。

所以 $(0,0)$ 是拐点。这个例子说明：$f''$ 不存在的点也可能是拐点。

题型 7：求渐近线（数条数）#

解法步骤：

1. 铅直：找无定义点，求单侧极限是否为 $\infty$；
2. 水平：分别求 $x\to+\infty$ 和 $x\to-\infty$ 的极限；
3. 斜：在没有水平渐近线的方向上，求 $k$ 和 $b$。

例 9 求曲线 $y=\dfrac1x+\ln(1+e^x)$ 的渐近线条数。

解

• 铅直：$x\to0$ 时 $\dfrac1x\to\infty$，所以 $x=0$ 是铅直渐近线。
• $x\to-\infty$：$\dfrac1x\to0$，$\ln(1+e^x)\to\ln1=0$，所以 $y=0$ 是水平渐近线。
• $x\to+\infty$：$y\to+\infty$，没有水平渐近线。求斜渐近线：

所以 $y=x$ 是斜渐近线。

共 $\boxed3$ 条。

题型 8：求曲率#

例 10 求抛物线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率和曲率半径。

解 $y'=2x$，$y''=2$。在 $x=1$ 处 $y'=2$，$y''=2$：

在顶点 $(0,0)$ 处 $y'=0$，$K=2$，这是曲率最大的地方：抛物线在顶点处弯得最厉害。

题型 9：用单调性或最值证明不等式#

解法步骤：

1. 移项，令 $F(x)=$ 左边 $-$ 右边；
2. 找到一个端点使 $F=0$（或已知符号）；
3. 证明 $F'$ 的符号固定（单调），或求出 $F$ 的最小值。

$F'$ 的符号看不出来时，再求一次导，用 $F''$ 判断 $F'$ 的单调性。

例 11 证明：当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>x-\dfrac{x^2}{2}$。

证 令 $F(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}$，$F(0)=0$。

$F$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增，所以 $x>0$ 时 $F(x)>F(0)=0$。

例 12 证明：对一切实数 $x$，$e^x\ge1+x$。

证 令 $F(x)=e^x-1-x$，$F'(x)=e^x-1$。$x<0$ 时 $F'<0$，$x>0$ 时 $F'>0$，所以 $F$ 在 $x=0$ 处取最小值 $F(0)=0$。故 $F(x)\ge0$。

题型 10：比较两个常数的大小#

解法：把其中一个数换成变量，转化为函数的单调性。

例 13 比较 $e^\pi$ 与 $\pi^e$ 的大小。

解 两边取对数，比较 $\pi$ 与 $e\ln\pi$，即比较 $\dfrac{\ln e}{e}$ 与 $\dfrac{\ln\pi}{\pi}$。

令 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，$g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。$x>e$ 时 $g'(x)<0$，$g$ 单调减。

因为 $\pi>e$，所以 $\dfrac{\ln\pi}{\pi}<\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac1e$，即 $e\ln\pi<\pi$，所以 $\boxed{\pi^e<e^\pi}$。

题型 11：用凹凸性证明不等式#

例 14 证明：当 $0<x<\dfrac\pi2$ 时，$\sin x>\dfrac{2}{\pi}x$。

证 令 $f(x)=\sin x$，在 $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ 内 $f''(x)=-\sin x<0$，曲线是凸的。

凸的曲线位于连接两端点的弦的上方。两端点为 $(0,0)$ 和 $\left(\dfrac\pi2,1\right)$，弦的方程为 $y=\dfrac{2}{\pi}x$。所以 $\sin x>\dfrac2\pi x$。

题型 12：用泰勒公式证明（含 $f''$ 的证明题）#

识别特征：题目给了 $f''$ 的条件，或要证的结论含 $f''(\xi)$，同时已知某点的 $f'=0$（如最值点）。

解法：在已知信息最多的点（通常是 $f'=0$ 的点）展开到二阶，然后代入端点。

例 15 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(0)=f(1)=0$，且 $f$ 在 $[0,1]$ 上的最小值为 $-1$。证明存在 $\xi\in(0,1)$，使 $f''(\xi)\ge8$。

证 端点处 $f=0>-1$，所以最小值在内部某点 $c\in(0,1)$ 取到，$f(c)=-1$，并由费马引理 $f'(c)=0$。

在 $c$ 处用拉格朗日余项的泰勒公式：

分别代入 $x=0$ 和 $x=1$：

其中 $\xi_1\in(0,c)$，$\xi_2\in(c,1)$。

• 若 $c\le\dfrac12$，则 $f''(\xi_1)=\dfrac{2}{c^2}\ge8$；
• 若 $c>\dfrac12$，则 $1-c<\dfrac12$，$f''(\xi_2)=\dfrac{2}{(1-c)^2}>8$。

总之存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f''(\xi)\ge8$。

例 16 设 $f''(x)>0$。证明对任意 $x$ 和 $x_0$，$f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$。

证 在 $x_0$ 处展开：

这就是“凹的曲线在切线上方”的严格证明。

题型 13：讨论方程根的个数#

解法步骤：

1. 分离参数：把方程化成 $g(x)=k$ 的形式；
2. 研究 $g$ 的单调区间、极值，以及定义域端点处的极限；
3. 画出 $g$ 的大致图像，看水平线 $y=k$ 与它有几个交点。

例 17 讨论方程 $\ln x=kx$ 的实根个数。

解 $x>0$，方程等价于 $\dfrac{\ln x}{x}=k$。令 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$。

由例 13，$g$ 在 $(0,e)$ 上增，在 $(e,+\infty)$ 上减，最大值 $g(e)=\dfrac1e$。端点处的极限：

所以 $g$ 在 $(0,e)$ 上从 $-\infty$ 增到 $\dfrac1e$，在 $(e,+\infty)$ 上从 $\dfrac1e$ 减到 $0$（始终为正）。

1. 单调性判别法#

任取 $x_1<x_2$，由拉格朗日中值定理：

$f'(\xi)>0$，$x_2-x_1>0$，所以 $f(x_2)>f(x_1)$。

2. 洛必达法则（0/0 型，$x\to x_0$）#

补充定义 $f(x_0)=g(x_0)=0$，使 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续。对 $x_0$ 与 $x$ 之间的区间用柯西中值定理：

$\xi$ 夹在 $x_0$ 和 $x$ 之间，$x\to x_0$ 时 $\xi\to x_0$，于是两个极限相等。

3. 极值的第二充分条件#

$f'(x_0)=0$，所以

由保号性，在 $x_0$ 附近 $f'(x)$ 与 $x-x_0$ 同号：左侧 $f'<0$，右侧 $f'>0$。由第一充分条件，$x_0$ 是极小值点。

4. 拉格朗日余项#

令 $R(x)=f(x)-P_n(x)$，其中 $P_n$ 是 $n$ 阶泰勒多项式。由构造，

对 $\dfrac{R(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$ 反复用 $n+1$ 次柯西中值定理（每次分子分母在 $x_0$ 处都为 $0$），最后得到

5. $f''>0$ 时曲线是凹的#

取 $x_1<x_2$，中点 $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$，$h=\dfrac{x_2-x_1}{2}$。在两个半区间上分别用拉格朗日：

$f''>0$ 说明 $f'$ 单调增，$f'(\xi_1)<f'(\xi_2)$，所以 $f(x_0)-f(x_1)<f(x_2)-f(x_0)$，即