https://gsxbxsg.github.io/ 我的博客 记录与分享 2026-10-04T00:00:00.000Z ELEC Firefly v6.16.8 https://gsxbxsg.github.io/posts/html-basics/ HTML 基础语法全解析：从零开始写网页（附 Markdown 对照） 2026-10-02T00:00:00.000Z 2026-10-03T00:00:00.000Z ELEC 面向零基础的 HTML 入门指南。用「HTML 代码 + Markdown 对照 + 实际效果」三合一的方式，把标签、属性、文本、列表、链接、图片、表格、表单等基本语法一次讲清楚。 如果你会写 Markdown，那你其实已经离 HTML 很近了——你写的每一个 # 标题、**粗体**，最终都会被翻译成 HTML 交给浏览器显示。本文用「HTML 代码 + Markdown 对照 + 实际效果」的方式，带你把 HTML 的基本语法一次过完。

一、HTML 是什么？#

HTML（HyperText Markup Language，超文本标记语言）是网页的”骨架”。它不负责好看（那是 CSS 的事），也不负责交互（那是 JavaScript 的事），只负责告诉浏览器：这里是标题、这里是段落、这里有张图片。

一个简单的类比
  • HTML = 房子的结构（墙、门、窗）
  • CSS = 装修（颜色、布局、风格）
  • JavaScript = 水电（让房子”动”起来）

HTML 和 Markdown 是什么关系？#

你在 Markdown 里写 # 标题，渲染器会把它变成 <h1>标题</h1>；写 **加粗**，会变成 <strong>加粗</strong>。

所以可以这么理解：Markdown 是 HTML 的”速记法”。Markdown 能做的事 HTML 都能做，而 HTML 能做的事远比 Markdown 多（比如表单、视频、复杂表格）。这也是为什么在 Markdown 里可以直接混写 HTML——本文的很多”效果”演示就是这么做的。

二、标签：HTML 的基本单位#

2.1 元素的结构#

1
<p>这是一个段落</p>

把它拆开看：

组成例子说明
开始标签<p>用尖括号包住标签名
内容这是一个段落显示在页面上的东西
结束标签</p>比开始标签多一个斜杠 /

三者合起来叫一个 元素（Element）。绝大多数 HTML 标签都是这种”成对出现”的结构。

2.2 属性：给标签加”参数”#

1
<a href="https://astro.build" target="_blank">Astro 官网</a>

属性写在开始标签里，格式是 名称="值"，多个属性之间用空格隔开。上面的 href 和 target 就是两个属性。

有几个属性几乎所有标签都能用，叫全局属性：

属性作用例子
id给元素一个唯一的名字<p id="intro">
class给元素分类，可以重复、可以多个<p class="tip big">
style直接写 CSS 样式<p style="color:red">
title鼠标悬停时显示的提示<p title="提示">

2.3 自闭合标签（空元素）#

有些标签天生没有”内容”，所以也不需要结束标签，比如换行 <br>、水平线 <hr>、图片 <img>、输入框 <input>：

1
<br>
2
<hr>
3
<img src="cat.jpg" alt="一只猫">

写成 <br /> 也可以，两种写法都合法。

2.4 注释#

1
<!-- 我是注释，浏览器不会显示我 -->

注释用来给自己或同事做说明，不会出现在页面上。

2.5 嵌套：先开后关#

标签可以一层套一层，但必须像套娃一样 “后打开的先关闭”：

1
<p>这是 <strong>正确的</strong> 嵌套</p>      ✅
2


3
<p>这是 <strong>错误的</p></strong> 嵌套        ❌ 交叉了
Warning

HTML 标签不区分大小写，<P> 和 <p> 效果一样，但约定俗成全部小写。属性值建议始终加双引号。

三、一个最小的 HTML 页面#

把下面的代码保存成 index.html，双击用浏览器打开，你的第一个网页就诞生了：

index.html
1
<!DOCTYPE html>
2
<html lang="zh-CN">
3
<head>
4
  <meta charset="UTF-8">
5
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
6
  <title>我的第一个网页</title>
7
</head>
8
<body>
9
  <h1>你好，世界！</h1>
10
  <p>这是我的第一个网页。</p>
11
</body>
12
</html>

每一行都在干什么：

代码作用
<!DOCTYPE html>声明这是 HTML5 文档，必须写在第一行
<html lang="zh-CN">根元素，所有内容都在它里面；lang 声明页面语言
<head>头部：放”看不见”的信息（编码、标题、CSS 引用等）
<meta charset="UTF-8">字符编码，不写中文会乱码
<meta name="viewport" ...>让手机端正常缩放
<title>浏览器标签页上显示的文字
<body>主体：所有”看得见”的内容都放这里
Tip

记住一个口诀：head 放设置，body 放内容。以后写任何页面，都从这个模板开始。

四、文本标签#

4.1 标题 <h1> ~ <h6>#

HTML 提供六级标题，h1 最大最重要，h6 最小。

HTMLMarkdown 对照
1
<h1>一级标题</h1>
2
<h2>二级标题</h2>
3
<h3>三级标题</h3>
4
<h4>四级标题</h4>
5
<h5>五级标题</h5>
6
<h6>六级标题</h6>
1
# 一级标题
2
## 二级标题
3
### 三级标题
4
#### 四级标题
5
##### 五级标题
6
###### 六级标题
👀 点击查看效果
一级标题
二级标题
三级标题
四级标题
五级标题
六级标题
Important

一个页面通常只有一个 <h1>，标题要按层级使用。不要为了”字大”而用 <h1>——字号的问题交给 CSS。

4.2 段落 <p>、换行 <br>、水平线 <hr>#

HTMLMarkdown 对照
1
<p>这是第一段。HTML 会忽略源代码里的
2
换行和    多余空格，所以这句还在同一行。</p>
3
<p>这是第二段，段落之间自动有间距。</p>
4
<p>如果想在段落内强制换行，<br>就用 br 标签。</p>
5
<hr>
6
<p>上面是一条水平分割线。</p>
1
这是第一段。
2


3
这是第二段，空一行就是新段落。
4


5
行尾加两个空格
6
就是换行。
7


8
---
9


10
上面是一条水平分割线。
👀 点击查看效果

这是第一段。HTML 会忽略源代码里的 换行和 多余空格，所以这句还在同一行。

这是第二段，段落之间自动有间距。

如果想在段落内强制换行，
就用 br 标签。

上面是一条水平分割线。

初学者最容易困惑的点

在 HTML 源代码里敲回车、敲空格是没用的，浏览器会把连续的空白压缩成一个空格。想换行请用 <br>，想分段请用 <p>。

4.3 文字强调与修饰#

HTMLMarkdown 对照
1
<p><strong>重要（加粗）</strong> 和 <b>单纯加粗</b></p>
2
<p><em>强调（斜体）</em> 和 <i>单纯斜体</i></p>
3
<p><u>下划线</u>、<s>删除线</s>、<mark>高亮</mark></p>
4
<p>H<sub>2</sub>O 是水，E = mc<sup>2</sup> 是公式</p>
5
<p>行内代码用 <code>console.log()</code></p>
6
<p>按 <kbd>Ctrl</kbd> + <kbd>C</kbd> 复制</p>
7
<p><small>这是一行小字，常用于版权声明</small></p>
1
**加粗**
2
*斜体*
3
~~删除线~~
4
`行内代码`
5


6
（下划线、高亮、上下标、kbd 等 Markdown 没有，需直接写 HTML）
👀 点击查看效果

重要（加粗） 和 单纯加粗

强调（斜体） 和 单纯斜体

下划线、删除线、高亮

H2O 是水，E = mc2 是公式

行内代码用 console.log()

按 Ctrl + C 复制

这是一行小字，常用于版权声明

<strong> 和 <b> 看起来一样，区别在语义：<strong> 表示”这很重要”，<b> 只是”把它弄粗”。<em> 与 <i> 同理。现代 HTML 更推荐使用有语义的 <strong> / <em>。

4.4 引用与代码块#

HTMLMarkdown 对照
1
<blockquote>
2
  千里之行，始于足下。
3
</blockquote>
4


5
<p>他说：<q>明天见</q>。</p>
6


7
<pre>
8
保留    原始格式
9
  包括缩进和
10
换行
11
</pre>
12


13
<pre><code>function hello() {
14
  console.log("Hello");
15
}</code></pre>
展开收起
1
> 千里之行，始于足下。
2


3
```js
4
function hello() {
5
  console.log("Hello");
6
}
7
```
👀 点击查看效果
千里之行，始于足下。

他说：明天见。

保留    原始格式
  包括缩进和
换行
  • <blockquote> 是块级引用，<q> 是行内短引用（浏览器会自动加引号）
  • <pre> 会原样保留空格和换行，通常和 <code> 搭配显示代码

五、列表#

HTML 有三种列表：无序列表、有序列表、定义列表。列表项都用 <li>（list item）。

HTMLMarkdown 对照
1
<!-- 无序列表 unordered list -->
2
<ul>
3
  <li>苹果</li>
4
  <li>香蕉</li>
5
  <li>橙子</li>
6
</ul>
7


8
<!-- 有序列表 ordered list -->
9
<ol>
10
  <li>打开冰箱</li>
11
  <li>放入大象</li>
12
  <li>关上冰箱</li>
13
</ol>
14


15
<!-- 嵌套列表 -->
16
<ul>
17
  <li>前端
18
    <ul>
19
      <li>HTML</li>
20
      <li>CSS</li>
21
    </ul>
22
  </li>
23
  <li>后端</li>
24
</ul>
25


26
<!-- 定义列表 definition list -->
27
<dl>
28
  <dt>HTML</dt>
29
  <dd>网页的结构</dd>
30
  <dt>CSS</dt>
31
  <dd>网页的样式</dd>
32
</dl>
展开收起
1
- 苹果
2
- 香蕉
3
- 橙子
4


5
1. 打开冰箱
6
2. 放入大象
7
3. 关上冰箱
8


9
- 前端
10
  - HTML
11
  - CSS
12
- 后端
13


14
（定义列表 Markdown 没有）
👀 点击查看效果
  • 苹果
  • 香蕉
  • 橙子
  1. 打开冰箱
  2. 放入大象
  3. 关上冰箱
  • 前端
    • HTML
    • CSS
  • 后端
HTML
网页的结构
CSS
网页的样式
Note

<ol> 可以用 start="5" 指定从 5 开始编号，用 type="A" 改成字母编号，用 reversed 倒序。

六、链接 <a>#

链接是”超文本”中”超”的来源。标签名 a 是 anchor（锚）的缩写。

HTMLMarkdown 对照
1
<!-- 最基本的链接 -->
2
<a href="https://astro.build">Astro 官网</a>
3


4
<!-- 在新标签页打开 -->
5
<a href="https://astro.build" target="_blank">新窗口打开</a>
6


7
<!-- 鼠标悬停提示 -->
8
<a href="https://astro.build" title="点我去 Astro">带提示的链接</a>
9


10
<!-- 页面内跳转（锚点）：跳到 id="top" 的元素 -->
11
<a href="#top">回到顶部</a>
12


13
<!-- 发邮件 / 打电话 -->
14
<a href="mailto:me@example.com">给我发邮件</a>
15
<a href="tel:10086">拨打电话</a>
16


17
<!-- 相对路径：链接到同目录下的 about.html -->
18
<a href="about.html">关于我</a>
展开收起
1
[Astro 官网](https://astro.build)
2


3
[带提示的链接](https://astro.build "点我去 Astro")
4


5
（新窗口打开、锚点等需要直接写 HTML）
👀 点击查看效果

Astro 官网

新窗口打开

带提示的链接（鼠标悬停试试）

跳到本文开头（锚点演示）

给我发邮件

属性说明
href目标地址，可以是网址、相对路径、#锚点、mailto:、tel:
target="_blank"在新标签页打开
title悬停提示文字

七、图片 <img>#

HTMLMarkdown 对照
1
<img src="/favicon/firefly-32.png" alt="Firefly 图标" width="64">
2


3
<!-- 带说明文字的图片 -->
4
<figure>
5
  <img src="/favicon/firefly-32.png" alt="Firefly 图标" width="48">
6
  <figcaption>图 1：Firefly 主题的图标</figcaption>
7
</figure>
8


9
<!-- 图片链接：把 img 包在 a 里 -->
10
<a href="https://astro.build">
11
  <img src="/favicon/firefly-32.png" alt="去 Astro" width="32">
12
</a>
1
![Firefly 图标](/favicon/firefly-32.png)
2


3
[![去 Astro](/favicon/firefly-32.png)](https://astro.build)
4


5
（Markdown 无法直接控制宽度，需要写 HTML）
👀 点击查看效果 Firefly 图标
Firefly 图标
图 1：Firefly 主题的图标
属性说明
src图片地址（必填）
alt图片加载失败时显示的替代文字，也是屏幕阅读器读的内容（强烈建议填写）
width / height宽高，单位像素；只写一个另一个会等比缩放
Warning

alt 不是可有可无的：它关系到无障碍访问和 SEO。养成每张图都写 alt 的习惯。

八、表格 <table>#

表格的结构稍微复杂一点，记住一个层级：表格 → 行 → 单元格。

HTMLMarkdown 对照
1
<table>
2
  <thead>            <!-- 表头 -->
3
    <tr>             <!-- 一行 table row -->
4
      <th>姓名</th>   <!-- 表头单元格 table header -->
5
      <th>年龄</th>
6
      <th>城市</th>
7
    </tr>
8
  </thead>
9
  <tbody>            <!-- 表体 -->
10
    <tr>
11
      <td>小明</td>   <!-- 普通单元格 table data -->
12
      <td>18</td>
13
      <td>北京</td>
14
    </tr>
15
    <tr>
16
      <td>小红</td>
17
      <td>20</td>
18
      <td>上海</td>
19
    </tr>
20
  </tbody>
21
</table>
展开收起
1
| 姓名 | 年龄 | 城市 |
2
| --- | --- | --- |
3
| 小明 | 18 | 北京 |
4
| 小红 | 20 | 上海 |
👀 点击查看效果
姓名 年龄 城市
小明 18 北京
小红 20 上海

合并单元格#

Markdown 做不到的事来了：colspan 横向合并、rowspan 纵向合并。

1
<table>
2
  <tr>
3
    <th colspan="2">横向合并两格</th>
4
  </tr>
5
  <tr>
6
    <td rowspan="2">纵向合并两格</td>
7
    <td>A</td>
8
  </tr>
9
  <tr>
10
    <td>B</td>
11
  </tr>
12
</table>
👀 点击查看效果
横向合并两格
纵向合并两格 A
B

九、容器与语义化标签#

9.1 <div> 和 <span>#

这两个标签本身没有任何样式和含义，纯粹是用来”打包”内容、方便配合 CSS 的：

  • <div> 是块级容器：独占一行，像一个箱子
  • <span> 是行内容器：不换行，像一个标签贴在文字上
1
<div class="card">
2
  <p>这是卡片里的一段话，其中 <span class="highlight">这几个字</span> 要高亮。</p>
3
</div>
块级 vs 行内

这是 HTML 里很重要的概念：

  • 块级元素（div、p、h1、ul、table……）默认独占一行
  • 行内元素（span、a、strong、img、code……）默认和文字排在一起

9.2 语义化标签#

HTML5 新增了一批”自带含义”的容器，它们的显示效果和 <div> 一模一样，但能让代码更易读、对搜索引擎和屏幕阅读器更友好：

1
<body>
2
  <header>网站头部：Logo、站名</header>
3
  <nav>导航栏：首页 / 归档 / 关于</nav>
4
  <main>
5
    <article>
6
      <h1>文章标题</h1>
7
      <p>文章正文……</p>
8
    </article>
9
    <aside>侧边栏：作者信息、推荐阅读</aside>
10
  </main>
11
  <footer>页脚：版权信息</footer>
12
</body>
标签含义
<header>页面或区块的头部
<nav>导航链接区
<main>页面主体内容（每页只有一个）
<article>独立完整的内容，如一篇文章
<section>内容的一个章节
<aside>侧边栏、补充信息
<footer>页面或区块的底部

一句话：能用语义化标签就别用 <div>。

十、表单 <form>#

表单是网页收集用户输入的方式——登录框、搜索框、评论区都是表单。这是 Markdown 完全做不到的事。

1
<form action="/submit" method="post">
2
  <!-- label 的 for 和 input 的 id 对应，点击文字也能聚焦输入框 -->
3
  <label for="name">昵称：</label>
4
  <input type="text" id="name" name="name" placeholder="请输入昵称" required>
5
  <br>
6


7
  <label for="pwd">密码：</label>
8
  <input type="password" id="pwd" name="pwd">
9
  <br>
10


11
  <label for="email">邮箱：</label>
12
  <input type="email" id="email" name="email">
13
  <br>
14


15
  <label>性别：</label>
16
  <input type="radio" name="gender" value="m" checked> 男
17
  <input type="radio" name="gender" value="f"> 女
18
  <br>
19


20
  <label>爱好：</label>
21
  <input type="checkbox" name="hobby" value="code"> 编程
22
  <input type="checkbox" name="hobby" value="music"> 音乐
23
  <br>
24


25
  <label for="city">城市：</label>
26
  <select id="city" name="city">
27
    <option value="bj">北京</option>
28
    <option value="sh" selected>上海</option>
29
    <option value="gz">广州</option>
30
  </select>
31
  <br>
32


33
  <label for="msg">留言：</label>
34
  <textarea id="msg" name="msg" rows="3" placeholder="想说点什么…"></textarea>
35
  <br>
36


37
  <button type="submit">提交</button>
38
  <button type="reset">重置</button>
39
</form>
展开收起
👀 点击查看效果（可以试着操作） 昵称：
密码：
邮箱：
性别： 男 女
爱好： 编程 音乐
城市：
留言：
提交 重置

常用的 <input type="...">：

type说明
text单行文本（默认）
password密码，输入显示为圆点
email / url / tel带格式校验的文本框
number数字，可用 min / max / step 限制
radio单选，同一组的 name 要相同
checkbox多选
date / time日期 / 时间选择器
file文件上传
submit / reset提交 / 重置按钮
Note

<form> 的两个关键属性：action 指定数据提交到哪个地址，method 指定提交方式（get 把数据拼在网址上，post 放在请求体里）。

十一、多媒体#

1
<!-- 音频：controls 显示播放控件 -->
2
<audio src="music.mp3" controls></audio>
3


4
<!-- 视频：可指定宽度、自动播放（autoplay）、循环（loop）、静音（muted） -->
5
<video src="movie.mp4" controls width="400"></video>
6


7
<!-- 内嵌另一个网页，常用于嵌入地图、B 站视频等 -->
8
<iframe src="https://example.com" width="600" height="400"></iframe>

十二、特殊字符（HTML 实体）#

有些字符在 HTML 里有特殊含义（比如 < 会被当成标签开头），想直接显示它们就要用”实体”写法：

想显示要写成说明
<&lt;less than
>&gt;greater than
&&amp;ampersand
"&quot;quote
空格&nbsp;不会被合并的空格
©&copy;版权符号
← →&larr; &rarr;箭头
❤&hearts;爱心
1
<p>在 HTML 中显示 &lt;p&gt; 标签需要用实体。</p>
2
<p>&copy; 2026 我的博客 &hearts;</p>

效果：

在 HTML 中显示 <p> 标签需要用实体。

© 2026 我的博客 ♥

十三、Markdown ↔ HTML 速查表#

你想要MarkdownHTML
标题# 标题<h1>标题</h1>
段落空一行<p>…</p>
换行行尾两个空格<br>
加粗**文字**<strong>文字</strong>
斜体*文字*<em>文字</em>
删除线~~文字~~<s>文字</s>
行内代码`code`<code>code</code>
代码块``` 包裹<pre><code>…</code></pre>
引用> 文字<blockquote>文字</blockquote>
无序列表- 项目<ul><li>项目</li></ul>
有序列表1. 项目<ol><li>项目</li></ol>
链接[文字](url)<a href="url">文字</a>
图片![alt](src)<img src="src" alt="alt">
分割线---<hr>
表格| a | b |<table><tr><td>…
表单、视频、合并单元格、下划线、高亮…❌ 没有✅ 直接写 HTML

十四、完整示例：一个个人主页#

把前面学的东西全部用上，这是一个完整的、可以直接保存运行的个人主页：

homepage.html展开收起
1
<!DOCTYPE html>
2
<html lang="zh-CN">
3
<head>
4
  <meta charset="UTF-8">
5
  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
6
  <title>ELEC 的个人主页</title>
7
</head>
8
<body>
9
  <header>
10
    <h1>你好，我是 ELEC 👋</h1>
11
    <p>一个正在学习前端的博主</p>
12
  </header>
13


14
  <nav>
15
    <a href="#about">关于我</a> |
16
    <a href="#skills">技能</a> |
17
    <a href="#contact">联系</a>
18
  </nav>
19


20
  <hr>
21


22
  <main>
23
    <section id="about">
24
      <h2>关于我</h2>
25
      <img src="avatar.png" alt="我的头像" width="100">
26
      <p>我喜欢用 <strong>Astro</strong> 写博客，用 <em>Markdown</em> 记笔记。</p>
27
      <blockquote>Stay hungry, stay foolish.</blockquote>
28
    </section>
29


30
    <section id="skills">
31
      <h2>技能</h2>
32
      <table>
33
        <tr><th>技能</th><th>熟练度</th></tr>
34
        <tr><td>HTML</td><td>⭐⭐⭐⭐</td></tr>
35
        <tr><td>CSS</td><td>⭐⭐⭐</td></tr>
36
        <tr><td>JavaScript</td><td>⭐⭐</td></tr>
37
      </table>
38
    </section>
39


40
    <section id="contact">
41
      <h2>联系我</h2>
42
      <form action="/contact" method="post">
43
        <label for="email">你的邮箱：</label>
44
        <input type="email" id="email" name="email" required>
45
        <br>
46
        <label for="msg">留言：</label>
47
        <textarea id="msg" name="msg" rows="3"></textarea>
48
        <br>
49
        <button type="submit">发送</button>
50
      </form>
51
    </section>
52
  </main>
53


54
  <footer>
55
    <p><small>&copy; 2026 ELEC · 用 <a href="https://astro.build">Astro</a> 搭建</small></p>
56
  </footer>
57
</body>
58
</html>
展开收起
动手试试

新建一个文本文件，粘贴上面的代码，保存为 homepage.html，用浏览器打开。然后试着改一改文字、加几行自己的内容——这是学 HTML 最快的方法。

十五、初学者常犯的错误#

  1. 忘记关闭标签：<p>段落 后面没有 </p>。浏览器通常会”猜”，但排版可能乱掉。
  2. 属性值不加引号：<a href=https://a.com> 能跑，但遇到空格就出错。请一律加引号。
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小结#

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]]> https://gsxbxsg.github.io/posts/gaoshu-05-indefinite/ 高数速成复习 05：不定积分 2026-10-04T00:00:00.000Z 2026-10-04T00:00:00.000Z ELEC 不定积分是定积分、微分方程、多元积分的计算基础。本篇讲清原函数的存在性，以及凑微分、三角代换、根式代换、分部积分、有理函数和三角有理式积分的套路。 不定积分单独出大题的情况不多，但后面的定积分、微分方程、重积分、曲线曲面积分，最后都要落到“求原函数”上。这一章的目标是：看到被积函数，知道该用哪种方法，并且算得又快又准。

一、本章地图#

模块要掌握什么常见考法
原函数概念原函数存在性、不定积分与导数互逆选择题
基本积分表约 20 个公式基本功
第一换元（凑微分）常见凑微分形式所有积分题
第二换元三角代换、根式代换、倒代换解答题
分部积分“反对幂指三”、表格法、循环积分解答题
有理函数积分部分分式分解解答题
三角有理式恒等变形、万能代换解答题
分段函数原函数要连续选择、解答

拿到一个积分，按下面的顺序考虑：

能

不能

有

没有

√(a²−x²) 等

ⁿ√(ax+b) 等

没有

是

否

拿到积分

能拆项或恒等变形？

拆开后套基本积分表

有 f(□)·□' 的结构？

凑微分

含根式？

三角代换

根式代换

两类函数相乘？

分部积分

有理函数 → 部分分式

三角有理式 → 恒等变形或万能代换

能

不能

有

没有

√(a²−x²) 等

ⁿ√(ax+b) 等

没有

是

否

拿到积分

能拆项或恒等变形？

拆开后套基本积分表

有 f(□)·□' 的结构？

凑微分

含根式？

三角代换

根式代换

两类函数相乘？

分部积分

有理函数 → 部分分式

三角有理式 → 恒等变形或万能代换

二、核心概念#

1. 原函数与不定积分#

若在区间 III 上 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)，称 FFF 是 fff 的一个原函数。fff 的全体原函数称为不定积分：

∫f(x) dx=F(x)+C.\int f(x)\,\mathrm dx=F(x)+C.∫f(x)dx=F(x)+C.

同一个函数的两个原函数只差一个常数（由第 03 篇的推论：导数相同的函数只差常数）。

2. 积分与求导互逆#

[∫f(x) dx]′=f(x),∫F′(x) dx=F(x)+C.\left[\int f(x)\,\mathrm dx\right]'=f(x),\qquad\int F'(x)\,\mathrm dx=F(x)+C.[∫f(x)dx]′=f(x),∫F′(x)dx=F(x)+C.

先积后导，原样不变；先导后积，要加 CCC。

3. 原函数存在性#

必背结论
  1. 在区间 III 上连续的函数，一定有原函数。
  2. 在区间 III 内有第一类间断点（可去或跳跃）的函数，在 III 上没有原函数。
  3. 有第二类间断点的函数，可能有原函数，也可能没有。

第 3 条的例子：F(x)=x2sin⁡1xF(x)=x^2\sin\dfrac1xF(x)=x2sinx1​（F(0)=0F(0)=0F(0)=0）处处可导，

F′(x)=f(x)={2xsin⁡1x−cos⁡1x,x≠00,x=0F'(x)=f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\ne0\\[2mm]0,&x=0\end{cases}F′(x)=f(x)=⎩⎨⎧​2xsinx1​−cosx1​,0,​x=0x=0​

fff 在 x=0x=0x=0 处是第二类（振荡）间断点，但它有原函数 FFF。这个例子在第 02 篇的易错点中出现过。

4. 原函数与定积分的区别#

“有原函数”和“定积分存在（可积）”是两回事：

  • 有跳跃间断点的函数，没有原函数，但在闭区间上可积（第 06 篇详细讲）。
  • 上面的 f(x)f(x)f(x) 有原函数，但它在 000 附近无界，这一点不影响原函数存在。

三、必背公式#

1. 基本积分表#

∫xa dx=xa+1a+1+C (a≠−1)∫dxx=ln⁡∣x∣+C∫ax dx=axln⁡a+C∫ex dx=ex+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫sec⁡2x dx=tan⁡x+C∫csc⁡2x dx=−cot⁡x+C∫sec⁡xtan⁡x dx=sec⁡x+C∫csc⁡xcot⁡x dx=−csc⁡x+C\begin{aligned} &\int x^a\,\mathrm dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\ne-1) && \int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C\\ &\int a^x\,\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C && \int e^x\,\mathrm dx=e^x+C\\ &\int\sin x\,\mathrm dx=-\cos x+C && \int\cos x\,\mathrm dx=\sin x+C\\ &\int\tan x\,\mathrm dx=-\ln\lvert\cos x\rvert+C && \int\cot x\,\mathrm dx=\ln\lvert\sin x\rvert+C\\ &\int\sec x\,\mathrm dx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C && \int\csc x\,\mathrm dx=\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+C\\ &\int\sec^2x\,\mathrm dx=\tan x+C && \int\csc^2x\,\mathrm dx=-\cot x+C\\ &\int\sec x\tan x\,\mathrm dx=\sec x+C && \int\csc x\cot x\,\mathrm dx=-\csc x+C \end{aligned}​∫xadx=a+1xa+1​+C (a=−1)∫axdx=lnaax​+C∫sinxdx=−cosx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫sec2xdx=tanx+C∫secxtanxdx=secx+C​​∫xdx​=ln∣x∣+C∫exdx=ex+C∫cosxdx=sinx+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C∫csc2xdx=−cotx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C​
必背·含 aaa 的公式（a>0a>0a>0）

∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\qquad\int\frac{\mathrm dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x-a}{x+a}\right\rvert+C∫a2+x2dx​=a1​arctanax​+C∫x2−a2dx​=2a1​ln​x+ax−a​​+C ∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C∫dxx2±a2=ln⁡∣x+x2±a2∣+C\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C\qquad\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left\lvert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right\rvert+C∫a2−x2​dx​=arcsinax​+C∫x2±a2​dx​=ln​x+x2±a2​​+C ∫a2−x2 dx=a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C∫a2−x2​dx=2a2​arcsinax​+2x​a2−x2​+C

2. 常见凑微分形式#

被积函数中出现凑成
x dxx\,\mathrm dxxdx12 d(x2)\frac12\,\mathrm d(x^2)21​d(x2)
dxx\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt x}x​dx​2 dx2\,\mathrm d\sqrt x2dx​
dxx2\dfrac{\mathrm dx}{x^2}x2dx​−d(1x)-\mathrm d\left(\dfrac1x\right)−d(x1​)
dxx\dfrac{\mathrm dx}{x}xdx​d(ln⁡x)\mathrm d(\ln x)d(lnx)
ex dxe^x\,\mathrm dxexdxd(ex)\mathrm d(e^x)d(ex)
cos⁡x dx\cos x\,\mathrm dxcosxdx、sin⁡x dx\sin x\,\mathrm dxsinxdxd(sin⁡x)\mathrm d(\sin x)d(sinx)、−d(cos⁡x)-\mathrm d(\cos x)−d(cosx)
sec⁡2x dx\sec^2x\,\mathrm dxsec2xdxd(tan⁡x)\mathrm d(\tan x)d(tanx)
dx1+x2\dfrac{\mathrm dx}{1+x^2}1+x2dx​d(arctan⁡x)\mathrm d(\arctan x)d(arctanx)
dx1−x2\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}1−x2​dx​d(arcsin⁡x)\mathrm d(\arcsin x)d(arcsinx)
dx\mathrm dxdx1a d(ax+b)\frac1a\,\mathrm d(ax+b)a1​d(ax+b)

3. 分部积分公式#

∫u dv=uv−∫v du.\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du.∫udv=uv−∫vdu.

4. 三种代换#

结构代换用到的恒等式
a2−x2\sqrt{a^2-x^2}a2−x2​x=asin⁡tx=a\sin tx=asint1−sin⁡2t=cos⁡2t1-\sin^2t=\cos^2t1−sin2t=cos2t
a2+x2\sqrt{a^2+x^2}a2+x2​x=atan⁡tx=a\tan tx=atant1+tan⁡2t=sec⁡2t1+\tan^2t=\sec^2t1+tan2t=sec2t
x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​x=asec⁡tx=a\sec tx=asectsec⁡2t−1=tan⁡2t\sec^2t-1=\tan^2tsec2t−1=tan2t
ax+bn\sqrt[n]{ax+b}nax+b​、ax+bcx+d\sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}}cx+dax+b​​令整个根式 =t=t=t去掉根号
三角有理式 R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x,\cos x)R(sinx,cosx)t=tan⁡x2t=\tan\dfrac x2t=tan2x​sin⁡x=2t1+t2\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}sinx=1+t22t​，cos⁡x=1−t21+t2\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}cosx=1+t21−t2​，dx=2 dt1+t2\mathrm dx=\dfrac{2\,\mathrm dt}{1+t^2}dx=1+t22dt​

四、题型与解题套路#

题型 1：凑微分（第一换元法）#

识别特征：被积函数可以写成 f(φ(x))φ′(x)f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)f(φ(x))φ′(x)，即“某个函数的复合”乘上“里层函数的导数”。

解法：

∫f(φ(x))φ′(x) dx=∫f(u) du∣u=φ(x).\int f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)\,\mathrm dx=\int f(u)\,\mathrm du\Big|_{u=\varphi(x)}.∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du​u=φ(x)​.

例 1 求下列积分：

  1. ∫x1+x2 dx\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm dx∫1+x2x​dx
  2. ∫dxx(1+ln⁡x)\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(1+\ln x)}∫x(1+lnx)dx​
  3. ∫exx dx\displaystyle\int\frac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,\mathrm dx∫x​ex​​dx

解

  1. x dx=12 d(1+x2)x\,\mathrm dx=\frac12\,\mathrm d(1+x^2)xdx=21​d(1+x2)，原式 =12ln⁡(1+x2)+C=\dfrac12\ln(1+x^2)+C=21​ln(1+x2)+C。
  2. dxx=d(1+ln⁡x)\dfrac{\mathrm dx}{x}=\mathrm d(1+\ln x)xdx​=d(1+lnx)，原式 =ln⁡∣1+ln⁡x∣+C=\ln\lvert1+\ln x\rvert+C=ln∣1+lnx∣+C。
  3. dxx=2 dx\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt x}=2\,\mathrm d\sqrt xx​dx​=2dx​，原式 =2ex+C=2e^{\sqrt x}+C=2ex​+C。

例 2 求 ∫dxx2+2x+5\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2+2x+5}∫x2+2x+5dx​。

解 二次式不能分解时，先配方：x2+2x+5=(x+1)2+4x^2+2x+5=(x+1)^2+4x2+2x+5=(x+1)2+4。

∫d(x+1)(x+1)2+22=12arctan⁡x+12+C.\int\frac{\mathrm d(x+1)}{(x+1)^2+2^2}=\boxed{\frac12\arctan\frac{x+1}{2}+C}.∫(x+1)2+22d(x+1)​=21​arctan2x+1​+C​.

例 3 求 ∫dx1+ex\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+e^x}∫1+exdx​。

解 分子加一项减一项 exe^xex：

∫1+ex−ex1+ex dx=∫dx−∫d(1+ex)1+ex=x−ln⁡(1+ex)+C.\int\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}\,\mathrm dx=\int\mathrm dx-\int\frac{\mathrm d(1+e^x)}{1+e^x}=\boxed{x-\ln(1+e^x)+C}.∫1+ex1+ex−ex​dx=∫dx−∫1+exd(1+ex)​=x−ln(1+ex)+C​.
凑微分的信号

被积函数里同时出现 φ(x)\varphi(x)φ(x) 和 φ′(x)\varphi'(x)φ′(x)，比如同时有 ln⁡x\ln xlnx 和 1x\frac1xx1​、同时有 arctan⁡x\arctan xarctanx 和 11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​，基本就是凑微分。

题型 2：三角函数的积分#

解法：

形式方法
sin⁡mxcos⁡nx\sin^mx\cos^nxsinmxcosnx，有一个是奇次拆出一个奇次的因子去凑微分，其余用 sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1sin2+cos2=1 化掉
sin⁡mxcos⁡nx\sin^mx\cos^nxsinmxcosnx，都是偶次用倍角公式降次
sin⁡axcos⁡bx\sin ax\cos bxsinaxcosbx 等积化和差
tan⁡nx\tan^nxtannx、sec⁡nx\sec^nxsecnx用 tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^2x=\sec^2x-1tan2x=sec2x−1，凑 d(tan⁡x)\mathrm d(\tan x)d(tanx)

例 4 求 ∫sin⁡3x dx\displaystyle\int\sin^3x\,\mathrm dx∫sin3xdx。

解 奇次，拆出一个 sin⁡x\sin xsinx：

∫sin⁡2x⋅sin⁡x dx=−∫(1−cos⁡2x) d(cos⁡x)=−cos⁡x+cos⁡3x3+C.\int\sin^2x\cdot\sin x\,\mathrm dx=-\int(1-\cos^2x)\,\mathrm d(\cos x)=\boxed{-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C}.∫sin2x⋅sinxdx=−∫(1−cos2x)d(cosx)=−cosx+3cos3x​+C​.

例 5 求 ∫sin⁡2xcos⁡2x dx\displaystyle\int\sin^2x\cos^2x\,\mathrm dx∫sin2xcos2xdx。

解 都是偶次，降次：

sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡22x4=1−cos⁡4x8,\sin^2x\cos^2x=\frac{\sin^22x}{4}=\frac{1-\cos4x}{8},sin2xcos2x=4sin22x​=81−cos4x​,原式=x8−sin⁡4x32+C.\text{原式}=\boxed{\frac x8-\frac{\sin4x}{32}+C}.原式=8x​−32sin4x​+C​.

例 6 求 ∫sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm dx∫sinx+cosxsinx​dx。

解 这类 asin⁡x+bcos⁡xcsin⁡x+dcos⁡x\dfrac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}csinx+dcosxasinx+bcosx​ 的积分，把分子写成“分母 + 分母的导数”的组合：

sin⁡x=A(sin⁡x+cos⁡x)+B(cos⁡x−sin⁡x).\sin x=A(\sin x+\cos x)+B(\cos x-\sin x).sinx=A(sinx+cosx)+B(cosx−sinx).

比较系数：A−B=1A-B=1A−B=1，A+B=0A+B=0A+B=0，得 A=12A=\frac12A=21​，B=−12B=-\frac12B=−21​。于是

原式=∫12 dx−12∫d(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x=x2−12ln⁡∣sin⁡x+cos⁡x∣+C.\text{原式}=\int\frac12\,\mathrm dx-\frac12\int\frac{\mathrm d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=\boxed{\frac x2-\frac12\ln\lvert\sin x+\cos x\rvert+C}.原式=∫21​dx−21​∫sinx+cosxd(sinx+cosx)​=2x​−21​ln∣sinx+cosx∣+C​.

题型 3：三角代换#

识别特征：被积函数含 a2−x2\sqrt{a^2-x^2}a2−x2​、a2+x2\sqrt{a^2+x^2}a2+x2​ 或 x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​，且凑微分做不了。

解法步骤：

  1. 按表选代换，去掉根号；
  2. 对 ttt 积分；
  3. 画直角三角形，把 ttt 的三角函数换回 xxx。

例 7 求 ∫a2−x2 dx (a>0)\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\ (a>0)∫a2−x2​dx (a>0)。

解 令 x=asin⁡tx=a\sin tx=asint，t∈[−π2,π2]t\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]t∈[−2π​,2π​]，则 a2−x2=acos⁡t\sqrt{a^2-x^2}=a\cos ta2−x2​=acost，dx=acos⁡t dt\mathrm dx=a\cos t\,\mathrm dtdx=acostdt。

∫a2cos⁡2t dt=a22∫(1+cos⁡2t) dt=a22(t+sin⁡tcos⁡t)+C.\int a^2\cos^2t\,\mathrm dt=\frac{a^2}{2}\int(1+\cos2t)\,\mathrm dt=\frac{a^2}{2}\left(t+\sin t\cos t\right)+C.∫a2cos2tdt=2a2​∫(1+cos2t)dt=2a2​(t+sintcost)+C.

回代：sin⁡t=xa\sin t=\dfrac xasint=ax​，cos⁡t=a2−x2a\cos t=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}cost=aa2−x2​​，得

a22arcsin⁡xa+x2a2−x2+C.\boxed{\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C}.2a2​arcsinax​+2x​a2−x2​+C​.

例 8 求 ∫dxx21+x2\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}∫x21+x2​dx​。

解 令 x=tan⁡tx=\tan tx=tant，dx=sec⁡2t dt\mathrm dx=\sec^2t\,\mathrm dtdx=sec2tdt，1+x2=sec⁡t\sqrt{1+x^2}=\sec t1+x2​=sect：

∫sec⁡2ttan⁡2tsec⁡t dt=∫cos⁡tsin⁡2t dt=−1sin⁡t+C.\int\frac{\sec^2t}{\tan^2t\sec t}\,\mathrm dt=\int\frac{\cos t}{\sin^2t}\,\mathrm dt=-\frac{1}{\sin t}+C.∫tan2tsectsec2t​dt=∫sin2tcost​dt=−sint1​+C.

画三角形：对边 xxx，邻边 111，斜边 1+x2\sqrt{1+x^2}1+x2​，所以 sin⁡t=x1+x2\sin t=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}sint=1+x2​x​。

原式=−1+x2x+C.\text{原式}=\boxed{-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C}.原式=−x1+x2​​+C​.
回代用直角三角形

由 x=asin⁡tx=a\sin tx=asint 等式子画出直角三角形，三条边都用 xxx 表示，需要哪个三角函数就直接读出来，不容易出错。

题型 4：根式代换与倒代换#

例 9 求 ∫dx1+x\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\sqrt x}∫1+x​dx​。

解 令 t=xt=\sqrt xt=x​，x=t2x=t^2x=t2，dx=2t dt\mathrm dx=2t\,\mathrm dtdx=2tdt：

∫2t1+t dt=2∫(1−11+t)dt=2t−2ln⁡(1+t)+C=2x−2ln⁡(1+x)+C.\int\frac{2t}{1+t}\,\mathrm dt=2\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm dt=2t-2\ln(1+t)+C=\boxed{2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+C}.∫1+t2t​dt=2∫(1−1+t1​)dt=2t−2ln(1+t)+C=2x​−2ln(1+x​)+C​.

例 10 求 ∫dxx+x3\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}∫x​+3x​dx​。

解 根指数 2 和 3 的最小公倍数是 6，令 t=x6t=\sqrt[6]xt=6x​，x=t6x=t^6x=t6，dx=6t5 dt\mathrm dx=6t^5\,\mathrm dtdx=6t5dt：

∫6t5t3+t2 dt=6∫t3t+1 dt=6∫(t2−t+1−1t+1)dt.\int\frac{6t^5}{t^3+t^2}\,\mathrm dt=6\int\frac{t^3}{t+1}\,\mathrm dt=6\int\left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right)\mathrm dt.∫t3+t26t5​dt=6∫t+1t3​dt=6∫(t2−t+1−t+11​)dt.=2t3−3t2+6t−6ln⁡∣t+1∣+C,t=x6.=2t^3-3t^2+6t-6\ln\lvert t+1\rvert+C,\quad t=\sqrt[6]x.=2t3−3t2+6t−6ln∣t+1∣+C,t=6x​.
倒代换

分母次数比分子高很多时（如 1x41+x2\dfrac{1}{x^4\sqrt{1+x^2}}x41+x2​1​），可以令 x=1tx=\dfrac1tx=t1​，把高次的分母“翻”上去。

题型 5：分部积分#

识别特征：两类不同的函数相乘，如 x exx\,e^xxex、xln⁡xx\ln xxlnx、exsin⁡xe^x\sin xexsinx；或者单独一个 ln⁡x\ln xlnx、arctan⁡x\arctan xarctanx、arcsin⁡x\arcsin xarcsinx。

选 uuu 的口诀“反对幂指三”：按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的顺序，排在前面的当 uuu（留着求导），排在后面的凑进 dv\mathrm dvdv。

例 11 求 ∫ln⁡x dx\displaystyle\int\ln x\,\mathrm dx∫lnxdx 和 ∫xarctan⁡x dx\displaystyle\int x\arctan x\,\mathrm dx∫xarctanxdx。

解 第一个，u=ln⁡xu=\ln xu=lnx，v=xv=xv=x：

∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx=xln⁡x−x+C.\int\ln x\,\mathrm dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,\mathrm dx=\boxed{x\ln x-x+C}.∫lnxdx=xlnx−∫x⋅x1​dx=xlnx−x+C​.

第二个，u=arctan⁡xu=\arctan xu=arctanx，dv=x dx\mathrm dv=x\,\mathrm dxdv=xdx，v=x22v=\dfrac{x^2}{2}v=2x2​：

∫xarctan⁡x dx=x22arctan⁡x−12∫x21+x2 dx=x22arctan⁡x−12(x−arctan⁡x)+C.\int x\arctan x\,\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12\int\frac{x^2}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12(x-\arctan x)+C.∫xarctanxdx=2x2​arctanx−21​∫1+x2x2​dx=2x2​arctanx−21​(x−arctanx)+C.

整理得 x2+12arctan⁡x−x2+C\boxed{\dfrac{x^2+1}{2}\arctan x-\dfrac x2+C}2x2+1​arctanx−2x​+C​。

例 12（表格法） 求 ∫x2cos⁡x dx\displaystyle\int x^2\cos x\,\mathrm dx∫x2cosxdx。

解 多项式要分部好几次，用表格法更快：左列对多项式不断求导直到 000，右列对另一个函数不断积分，然后斜着相乘，符号正负交替。

符号求导列积分列
+++x2x^2x2cos⁡x\cos xcosx
−-−2x2x2xsin⁡x\sin xsinx
+++222−cos⁡x-\cos x−cosx
000−sin⁡x-\sin x−sinx

斜着相乘：

原式=x2sin⁡x−2x(−cos⁡x)+2(−sin⁡x)+C=x2sin⁡x+2xcos⁡x−2sin⁡x+C.\text{原式}=x^2\sin x-2x(-\cos x)+2(-\sin x)+C=\boxed{x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C}.原式=x2sinx−2x(−cosx)+2(−sinx)+C=x2sinx+2xcosx−2sinx+C​.

例 13（循环积分） 求 ∫exsin⁡x dx\displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm dx∫exsinxdx。

解 记 I=∫exsin⁡x dxI=\displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm dxI=∫exsinxdx。分部两次：

I=exsin⁡x−∫excos⁡x dx=exsin⁡x−(excos⁡x+∫exsin⁡x dx)=ex(sin⁡x−cos⁡x)−I.I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\mathrm dx=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\mathrm dx\right)=e^x(\sin x-\cos x)-I.I=exsinx−∫excosxdx=exsinx−(excosx+∫exsinxdx)=ex(sinx−cosx)−I.

原积分又出现了，移项解方程：

I=ex2(sin⁡x−cos⁡x)+C.I=\boxed{\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C}.I=2ex​(sinx−cosx)+C​.
循环积分的两个要点
  1. 两次分部时，uuu 必须选同一类函数（都选三角或都选指数），否则会绕回原点，得到 I=II=II=I。
  2. 解出 III 后再补上 CCC。

题型 6：有理函数积分#

解法步骤：

  1. 若是假分式（分子次数 ≥\ge≥ 分母次数），先做多项式除法，化成多项式 + 真分式；
  2. 分母因式分解；
  3. 按下表拆成部分分式，求出系数；
  4. 每一项分别积分。
分母中的因式对应的部分分式
x−ax-ax−aAx−a\dfrac{A}{x-a}x−aA​
(x−a)k(x-a)^k(x−a)kA1x−a+A2(x−a)2+⋯+Ak(x−a)k\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}x−aA1​​+(x−a)2A2​​+⋯+(x−a)kAk​​
x2+px+qx^2+px+qx2+px+q（p2<4qp^2<4qp2<4q）Bx+Cx2+px+q\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}x2+px+qBx+C​

例 14 求 ∫x+3x2−5x+6 dx\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2-5x+6}\,\mathrm dx∫x2−5x+6x+3​dx。

解 x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)x2−5x+6=(x−2)(x−3)，设 x+3(x−2)(x−3)=Ax−2+Bx−3\dfrac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}(x−2)(x−3)x+3​=x−2A​+x−3B​。

用留数法（遮住一个因式，代入它的零点）：

A=x+3x−3∣x=2=−5,B=x+3x−2∣x=3=6.A=\frac{x+3}{x-3}\Big|_{x=2}=-5,\qquad B=\frac{x+3}{x-2}\Big|_{x=3}=6.A=x−3x+3​​x=2​=−5,B=x−2x+3​​x=3​=6.原式=−5ln⁡∣x−2∣+6ln⁡∣x−3∣+C.\text{原式}=\boxed{-5\ln\lvert x-2\rvert+6\ln\lvert x-3\rvert+C}.原式=−5ln∣x−2∣+6ln∣x−3∣+C​.

例 15 求 ∫dxx(x−1)2\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(x-1)^2}∫x(x−1)2dx​。

解 设 1x(x−1)2=Ax+Bx−1+D(x−1)2\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}x(x−1)21​=xA​+x−1B​+(x−1)2D​。

  • 留数法：A=1(x−1)2∣x=0=1A=\dfrac{1}{(x-1)^2}\Big|_{x=0}=1A=(x−1)21​​x=0​=1，D=1x∣x=1=1D=\dfrac1x\Big|_{x=1}=1D=x1​​x=1​=1。
  • 比较 x2x^2x2 的系数：通分后分子为 A(x−1)2+Bx(x−1)+DxA(x-1)^2+Bx(x-1)+DxA(x−1)2+Bx(x−1)+Dx，x2x^2x2 系数为 A+B=0A+B=0A+B=0，所以 B=−1B=-1B=−1。
原式=ln⁡∣x∣−ln⁡∣x−1∣−1x−1+C.\text{原式}=\boxed{\ln\lvert x\rvert-\ln\lvert x-1\rvert-\frac{1}{x-1}+C}.原式=ln∣x∣−ln∣x−1∣−x−11​+C​.

例 16 求 ∫dxx(x2+1)\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(x^2+1)}∫x(x2+1)dx​。

解 设 1x(x2+1)=Ax+Bx+Dx2+1\dfrac{1}{x(x^2+1)}=\dfrac Ax+\dfrac{Bx+D}{x^2+1}x(x2+1)1​=xA​+x2+1Bx+D​。留数法 A=1A=1A=1；通分比较 x2x^2x2 系数：A+B=0A+B=0A+B=0，B=−1B=-1B=−1；比较 xxx 系数：D=0D=0D=0。

原式=∫(1x−xx2+1)dx=ln⁡∣x∣−12ln⁡(x2+1)+C.\text{原式}=\int\left(\frac1x-\frac{x}{x^2+1}\right)\mathrm dx=\boxed{\ln\lvert x\rvert-\frac12\ln(x^2+1)+C}.原式=∫(x1​−x2+1x​)dx=ln∣x∣−21​ln(x2+1)+C​.

题型 7：三角有理式积分#

解法：

  1. 先试恒等变形：倍角、半角公式往往一步就能做完；
  2. 实在不行，用万能代换 t=tan⁡x2t=\tan\dfrac x2t=tan2x​，化成有理函数。万能代换一定能做，但计算量大。

例 17 求 ∫dx1+cos⁡x\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\cos x}∫1+cosxdx​。

解 半角公式：1+cos⁡x=2cos⁡2x21+\cos x=2\cos^2\dfrac x21+cosx=2cos22x​。

∫dx2cos⁡2x2=∫sec⁡2x2 d(x2)=tan⁡x2+C.\int\frac{\mathrm dx}{2\cos^2\frac x2}=\int\sec^2\frac x2\,\mathrm d\left(\frac x2\right)=\boxed{\tan\frac x2+C}.∫2cos22x​dx​=∫sec22x​d(2x​)=tan2x​+C​.

例 18 求 ∫dx2+cos⁡x\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{2+\cos x}∫2+cosxdx​。

解 恒等变形不好做，用万能代换。令 t=tan⁡x2t=\tan\dfrac x2t=tan2x​：

2+cos⁡x=2(1+t2)+(1−t2)1+t2=3+t21+t2,dx=2 dt1+t2.2+\cos x=\frac{2(1+t^2)+(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2},\qquad\mathrm dx=\frac{2\,\mathrm dt}{1+t^2}.2+cosx=1+t22(1+t2)+(1−t2)​=1+t23+t2​,dx=1+t22dt​.原式=∫23+t2 dt=23arctan⁡t3+C=23arctan⁡(13tan⁡x2)+C.\text{原式}=\int\frac{2}{3+t^2}\,\mathrm dt=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{t}{\sqrt3}+C=\boxed{\frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt3}\tan\frac x2\right)+C}.原式=∫3+t22​dt=3​2​arctan3​t​+C=3​2​arctan(3​1​tan2x​)+C​.

题型 8：分段函数的不定积分#

解法：每一段分别积分，然后利用原函数在分段点处连续，确定各段常数之间的关系，最后只保留一个任意常数 CCC。

例 19 求 ∫e∣x∣ dx\displaystyle\int e^{\lvert x\rvert}\,\mathrm dx∫e∣x∣dx。

解 分段积分：

F(x)={ex+C1,x≥0−e−x+C2,x<0F(x)=\begin{cases}e^x+C_1,&x\ge0\\-e^{-x}+C_2,&x<0\end{cases}F(x)={ex+C1​,−e−x+C2​,​x≥0x<0​

原函数可导，所以一定连续。在 x=0x=0x=0 处：1+C1=−1+C21+C_1=-1+C_21+C1​=−1+C2​，即 C2=C1+2C_2=C_1+2C2​=C1​+2。记 C1=CC_1=CC1​=C，

∫e∣x∣ dx={ex+C,x≥0−e−x+2+C,x<0\int e^{\lvert x\rvert}\,\mathrm dx=\boxed{\begin{cases}e^x+C,&x\ge0\\-e^{-x}+2+C,&x<0\end{cases}}∫e∣x∣dx={ex+C,−e−x+2+C,​x≥0x<0​​
最常见的错误

两段各写一个独立的 CCC，或者两段用同一个 CCC 但没检查连续性。这样得到的“原函数”在分段点处不连续，也就不可导，不是原函数。

题型 9：抽象函数与原函数的关系#

例 20 已知 f(x)f(x)f(x) 的一个原函数是 e−x2e^{-x^2}e−x2，求 ∫xf′(x) dx\displaystyle\int xf'(x)\,\mathrm dx∫xf′(x)dx。

解 由题意 f(x)=(e−x2)′=−2xe−x2f(x)=\left(e^{-x^2}\right)'=-2xe^{-x^2}f(x)=(e−x2)′=−2xe−x2。对所求积分分部：

∫xf′(x) dx=xf(x)−∫f(x) dx=−2x2e−x2−e−x2+C.\int xf'(x)\,\mathrm dx=xf(x)-\int f(x)\,\mathrm dx=-2x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}+C.∫xf′(x)dx=xf(x)−∫f(x)dx=−2x2e−x2−e−x2+C.
见到 f′f'f′ 就分部

被积函数中有 f′(x)f'(x)f′(x) 或 f′′(x)f''(x)f′′(x) 时，把它凑进 dv\mathrm dvdv 做分部积分，就能降一阶。

例 21 设 f′(ln⁡x)=1+xf'(\ln x)=1+xf′(lnx)=1+x，求 f(x)f(x)f(x)。

解 令 t=ln⁡xt=\ln xt=lnx，则 x=etx=e^tx=et，f′(t)=1+etf'(t)=1+e^tf′(t)=1+et。所以

f(t)=t+et+C,即 f(x)=x+ex+C.f(t)=t+e^t+C,\qquad\text{即}\ \boxed{f(x)=x+e^x+C}.f(t)=t+et+C,即 f(x)=x+ex+C​.

例 22（选择题） 下列函数在 (−1,1)(-1,1)(−1,1) 上没有原函数的是：

  • (A) f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvertf(x)=∣x∣
  • (B) f(x)={x+1,x≥0x,x<0f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge0\\x,&x<0\end{cases}f(x)={x+1,x,​x≥0x<0​
  • (C) f(x)={2xsin⁡1x−cos⁡1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​2xsinx1​−cosx1​,0,​x=0x=0​
  • (D) f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx

解 (A)、(D) 连续，有原函数。(C) 是 x2sin⁡1xx^2\sin\frac1xx2sinx1​ 的导数，有原函数。(B) 在 x=0x=0x=0 处有跳跃间断点，没有原函数。答案为 B\boxed{\text{B}}B​。

五、证明思路#

1. 换元法就是链式法则倒过来#

设 F′(u)=f(u)F'(u)=f(u)F′(u)=f(u)，由链式法则

ddxF(φ(x))=f(φ(x))φ′(x),\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F\bigl(\varphi(x)\bigr)=f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x),dxd​F(φ(x))=f(φ(x))φ′(x),

所以 F(φ(x))F\bigl(\varphi(x)\bigr)F(φ(x)) 就是 f(φ(x))φ′(x)f\bigl(\varphi(x)\bigr)\varphi'(x)f(φ(x))φ′(x) 的原函数。

第二换元法反过来用：令 x=ψ(t)x=\psi(t)x=ψ(t)，要求 ψ\psiψ 单调可导，才能保证最后能用反函数 t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x)t=ψ−1(x) 回代。这就是三角代换要限制 ttt 的范围的原因。

2. 分部积分就是乘积法则倒过来#

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′，两边积分：

uv=∫v du+∫u dv ⟹ ∫u dv=uv−∫v du.uv=\int v\,\mathrm du+\int u\,\mathrm dv\ \Longrightarrow\ \int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du.uv=∫vdu+∫udv ⟹ ∫udv=uv−∫vdu.

“反对幂指三”的道理：反三角和对数求导后变成代数式，变简单了，所以适合当 uuu；指数和三角积分后形式不变，所以适合凑进 dv\mathrm dvdv。

3. 有第一类间断点的函数没有原函数#

设 F′=fF'=fF′=f 在区间上处处成立，x0x_0x0​ 是 fff 的第一类间断点。

由拉格朗日中值定理，x<x0x<x_0x<x0​ 时

F(x)−F(x0)x−x0=F′(ξ)=f(ξ),x<ξ<x0.\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=F'(\xi)=f(\xi),\quad x<\xi<x_0.x−x0​F(x)−F(x0​)​=F′(ξ)=f(ξ),x<ξ<x0​.

令 x→x0−x\to x_0^-x→x0−​，得 F−′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)F'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)F−′​(x0​)=x→x0−​lim​f(x)。同理 F+′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)F'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)F+′​(x0​)=x→x0+​lim​f(x)。

  • 跳跃间断：左右极限不相等，于是 FFF 在 x0x_0x0​ 处左右导数不相等，FFF 不可导，矛盾。
  • 可去间断：左右极限相等但不等于 f(x0)f(x_0)f(x0​)，于是 F′(x0)≠f(x0)F'(x_0)\ne f(x_0)F′(x0​)=f(x0​)，矛盾。

一句话：导函数要么连续，要么有第二类间断点，不会有第一类间断点。

4. 连续函数必有原函数#

构造 F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)\,\mathrm dtF(x)=∫ax​f(t)dt，第 06 篇会证明 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)。

5. 留数法为什么成立#

以 x+3(x−2)(x−3)=Ax−2+Bx−3\dfrac{x+3}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3}(x−2)(x−3)x+3​=x−2A​+x−3B​ 为例，两边同乘 x−2x-2x−2：

x+3x−3=A+B(x−2)x−3.\frac{x+3}{x-3}=A+\frac{B(x-2)}{x-3}.x−3x+3​=A+x−3B(x−2)​.

令 x=2x=2x=2，右边第二项为 000，就得到 AAA。

六、易错点#

积分结果的形式可以不同

∫sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle\int\sin x\cos x\,\mathrm dx∫sinxcosxdx 可以算出 sin⁡2x2\dfrac{\sin^2x}{2}2sin2x​、−cos⁡2x2-\dfrac{\cos^2x}{2}−2cos2x​ 或 −cos⁡2x4-\dfrac{\cos2x}{4}−4cos2x​（各加 CCC）。三者之间只差常数，都对。检验方法是对结果求导，看能不能还原成被积函数。

  • 忘记加 CCC，或循环积分中 CCC 加的位置不对。
  • ln⁡\lnln 忘记加绝对值：∫dxx=ln⁡∣x∣+C\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C∫xdx​=ln∣x∣+C。像 ln⁡(1+x2)\ln(1+x^2)ln(1+x2)、ln⁡(1+ex)\ln(1+e^x)ln(1+ex) 里面恒正，可以不加。
  • 换元后忘记回代：最后结果必须是 xxx 的函数。
  • 凑微分漏系数：∫e2x dx=12e2x+C\displaystyle\int e^{2x}\,\mathrm dx=\frac12e^{2x}+C∫e2xdx=21​e2x+C，不是 e2x+Ce^{2x}+Ce2x+C。
  • 假分式没先做除法就拆部分分式。
  • 部分分式少写项：(x−1)2(x-1)^2(x−1)2 要对应两项；x2+1x^2+1x2+1 的分子是 Bx+CBx+CBx+C，不是常数。
  • 分段函数的原函数不连续。
  • 以为初等函数的原函数都是初等函数：e−x2e^{-x^2}e−x2、sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}xsinx​、1ln⁡x\dfrac{1}{\ln x}lnx1​ 的原函数存在，但不能用初等函数表示（俗称“积不出来”）。

七、小练习#

1. 求 ∫dxxln⁡x ln⁡(ln⁡x)\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)}∫xlnxln(lnx)dx​。

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连续凑微分：dxx=d(ln⁡x)\dfrac{\mathrm dx}{x}=\mathrm d(\ln x)xdx​=d(lnx)，d(ln⁡x)ln⁡x=d(ln⁡(ln⁡x))\dfrac{\mathrm d(\ln x)}{\ln x}=\mathrm d\bigl(\ln(\ln x)\bigr)lnxd(lnx)​=d(ln(lnx))。

原式 =∫d(ln⁡(ln⁡x))ln⁡(ln⁡x)=ln⁡∣ln⁡(ln⁡x)∣+C=\displaystyle\int\frac{\mathrm d\bigl(\ln(\ln x)\bigr)}{\ln(\ln x)}=\ln\bigl\lvert\ln(\ln x)\bigr\rvert+C=∫ln(lnx)d(ln(lnx))​=ln​ln(lnx)​+C。

2. 求 ∫x2ex dx\displaystyle\int x^2e^x\,\mathrm dx∫x2exdx。

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表格法：求导列 x2, 2x, 2, 0x^2,\ 2x,\ 2,\ 0x2, 2x, 2, 0；积分列都是 exe^xex。

原式 =x2ex−2xex+2ex+C=(x2−2x+2)ex+C=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C=x2ex−2xex+2ex+C=(x2−2x+2)ex+C。

3. 求 ∫dxx(1−x)\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x(1-x)}}∫x(1−x)​dx​。

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令 t=xt=\sqrt xt=x​，x=t2x=t^2x=t2，dx=2t dt\mathrm dx=2t\,\mathrm dtdx=2tdt：

∫2tt1−t2 dt=2arcsin⁡t+C=2arcsin⁡x+C.\int\frac{2t}{t\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm dt=2\arcsin t+C=2\arcsin\sqrt x+C.∫t1−t2​2t​dt=2arcsint+C=2arcsinx​+C.

4. 求 ∫2x+3x2+2x+2 dx\displaystyle\int\frac{2x+3}{x^2+2x+2}\,\mathrm dx∫x2+2x+22x+3​dx。

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分子拆成“分母的导数 + 常数”：2x+3=(2x+2)+12x+3=(2x+2)+12x+3=(2x+2)+1。

∫2x+2x2+2x+2 dx+∫dx(x+1)2+1=ln⁡(x2+2x+2)+arctan⁡(x+1)+C.\int\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\,\mathrm dx+\int\frac{\mathrm dx}{(x+1)^2+1}=\ln(x^2+2x+2)+\arctan(x+1)+C.∫x2+2x+22x+2​dx+∫(x+1)2+1dx​=ln(x2+2x+2)+arctan(x+1)+C.

5. 求 ∫e2xcos⁡x dx\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,\mathrm dx∫e2xcosxdx。

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记为 III，两次分部都把 e2xe^{2x}e2x 凑进 dv\mathrm dvdv：

I=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡x dx=12e2xcos⁡x+14e2xsin⁡x−14I.I=\frac12e^{2x}\cos x+\frac12\int e^{2x}\sin x\,\mathrm dx=\frac12e^{2x}\cos x+\frac14e^{2x}\sin x-\frac14I.I=21​e2xcosx+21​∫e2xsinxdx=21​e2xcosx+41​e2xsinx−41​I.

移项得 54I=e2x4(2cos⁡x+sin⁡x)\dfrac54I=\dfrac{e^{2x}}{4}(2\cos x+\sin x)45​I=4e2x​(2cosx+sinx)，所以

I=e2x5(2cos⁡x+sin⁡x)+C.I=\frac{e^{2x}}{5}(2\cos x+\sin x)+C.I=5e2x​(2cosx+sinx)+C.

八、本章小结#

  • 连续函数一定有原函数；有第一类间断点的函数一定没有原函数。
  • 方法选择顺序：恒等变形 → 凑微分 → 换元 → 分部 → 有理函数。
  • 根式：a2±x2\sqrt{a^2\pm x^2}a2±x2​、x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​ 用三角代换，回代画直角三角形；ax+bn\sqrt[n]{ax+b}nax+b​ 令整个根式为 ttt。
  • 分部积分按“反对幂指三”选 uuu；多项式乘积用表格法；exe^xex 乘三角函数用循环积分。
  • 有理函数：先除法，再分解，留数法求系数。
  • 三角有理式：先试恒等变形，不行再用万能代换。
  • 分段函数的原函数必须连续，只保留一个 CCC。

下一篇：06 定积分与反常积分。

]]> https://gsxbxsg.github.io/posts/gaoshu-00-guide/ 高数速成复习 00：导读与复习路线（考研数学一） 2026-10-03T00:00:00.000Z 2026-10-03T00:00:00.000Z ELEC 这是一套面向考研数学一的高数速成笔记。本篇先讲清考什么、怎么复习，以及这套笔记该怎么用。 这一篇先回答三个问题：考什么、按什么顺序复习、这套笔记怎么用。第 01 篇开始进入正文。

一、考试基本信息（2027 考研）#

项目内容
预报名2026 年 10 月 9 日 ～ 10 月 12 日
正式报名2026 年 10 月 15 日 ～ 10 月 24 日
初试2026 年 12 月 19 日 ～ 20 日
数学考试时长180 分钟，满分 150 分
信息来源

日期来自研招网发布的《2027 年全国硕士研究生招生考试公告》和教育部招生工作部署。试卷结构请以当年官方考试大纲为准。

数一试卷结构（近年常见形式）#

题型题量分值
单项选择题10 题50 分
填空题6 题30 分
解答题（含证明）6 题70 分

各科大致占比：高等数学约 60%，线性代数约 20%，概率论与数理统计约 20%。也就是说，高数大约占 90 分，是拉开差距的主战场。

二、知识地图#

高数整体是“一元 → 多元”的结构，后面的内容几乎都建立在“极限、导数、积分”这三样东西上：

极限与连续

导数与微分

中值定理与导数应用

不定积分

定积分

常微分方程

无穷级数

多元微分

重积分

空间解析几何

曲线/曲面积分

极限与连续

导数与微分

中值定理与导数应用

不定积分

定积分

常微分方程

无穷级数

多元微分

重积分

空间解析几何

曲线/曲面积分

三、系列目录#

内容多的章节已经拆开，全系列共 16 篇加 1 篇附录：

#标题重点考频
00导读与复习路线本篇—
01函数、极限与连续等价无穷小、泰勒求极限、间断点★★★
02导数与微分导数定义、隐函数/参数方程求导、高阶导数★★★
03微分中值定理罗尔/拉格朗日/柯西、证明题构造辅助函数★★★
04导数的应用洛必达、泰勒公式、极值、凹凸性、渐近线、不等式★★★
05不定积分换元、分部、有理函数积分★★
06定积分与反常积分变限积分求导、对称性、反常积分敛散性★★★
07定积分的应用面积、旋转体体积、弧长、物理应用★★
08常微分方程一阶方程、二阶常系数线性、欧拉方程★★★
09向量代数与空间解析几何平面与直线、曲面方程★
10多元函数微分学可微性、复合求导、方向导数、条件极值★★★
11重积分二重/三重积分换坐标、对称性、交换次序★★★
12曲线积分与格林公式两类曲线积分、格林公式、与路径无关★★★
13曲面积分与高斯、斯托克斯公式两类曲面积分、高斯公式补面法★★★
14常数项级数正项级数判别法、交错级数、绝对/条件收敛★★
15幂级数与傅里叶级数收敛域、和函数、函数展开、傅里叶系数★★★
附录公式速查表全系列必背公式汇总—
数一独有的重点

第 09、12、13 篇（空间解析几何、曲线曲面积分）和傅里叶级数只有数一考。数二、数三的同学可以跳过这些内容。

四、每篇文章的结构#

后面每一篇都按同一个顺序写，方便查找：

  1. 本章地图：这一章学什么、考什么
  2. 核心概念：只讲最关键的定义，用大白话解释
  3. 必背公式：集中列出
  4. 题型与套路：每个题型按“识别特征 → 解法步骤 → 例题”来讲
  5. 证明思路：重要定理给出简短的证明思路，帮你理解它为什么成立，也能应对证明题
  6. 易错点：常见失分点
  7. 小练习：3～5 题，答案折叠
  8. 本章小结

文中的提醒框含义固定：

技巧

能明显省时间的做法。

易错

很容易丢分的地方。

必背

考前一定要背熟的结论。

五、格式示例#

下面用一道小题演示后面文章的写法。

例 求 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}x→0lim​x3tanx−sinx​。

识别特征：00\frac{0}{0}00​ 型，分子是两个函数相减。直接把 tan⁡x\tan xtanx、sin⁡x\sin xsinx 都换成 xxx 会得到 000，这是错的。

解法：先提公因式，再对乘积因子做等价替换：

tan⁡x−sin⁡xx3=tan⁡x (1−cos⁡x)x3∼x⋅12x2x3=12.\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{\tan x\,(1-\cos x)}{x^3}\sim\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.x3tanx−sinx​=x3tanx(1−cosx)​∼x3x⋅21​x2​=21​.
易错

等价无穷小只能替换乘除中的因子，不能直接替换加减中的某一项。

证明思路：为什么加减不能随便替换？因为 tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)tanx=x+3x3​+o(x3)，sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)sinx=x−6x3​+o(x3)。两者的一阶项 xxx 相减后抵消了，真正决定结果的是三阶项。只换成 xxx 就把三阶项丢掉了。

📝 小练习：用泰勒展开验证上面的结果（点击查看答案）

由上面的展开式，$\tan x-\sin x=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)x^3+o(x^3)=\frac{1}{2}x^3+o(x^3)$，所以极限为 $\frac{1}{2}$，与等价替换的结果一致。

六、复习路线建议#

距离初试大约 11 周。下面是一个速成节奏，可以按自己的情况调整：

时间任务
第 1～4 周01～08 篇（一元微积分），每天 1 篇，并配套做题
第 5～7 周09～15 篇（多元与级数）
第 8～10 周整套真题限时训练，错题回到对应篇章查漏
第 11 周只看附录速查表、错题和易错点
怎么用这套笔记
  • 第一遍：按顺序读，每篇的小练习都要动笔做。
  • 第二遍：只看“题型与套路”和“易错点”。
  • 考前：只看附录速查表。

本篇小结#

  • 数一高数约占 90 分，是数学的主战场。
  • 极限、导数、积分是基础，01～06 篇一定要打牢。
  • 每篇都按“地图 → 概念 → 公式 → 套路 → 证明思路 → 易错 → 练习 → 小结”的结构来写。

下一篇：01 函数、极限与连续。

]]> https://gsxbxsg.github.io/posts/gaoshu-01-limit/ 高数速成复习 01：函数、极限与连续 2026-10-03T00:00:00.000Z 2026-10-03T00:00:00.000Z ELEC 求极限是整个高数的地基。本篇讲清七种未定式的处理套路、必背的等价无穷小与泰勒展开、数列极限、无穷小比较和间断点分类。 求极限几乎是每年必考的内容，而且后面的导数、积分、级数全都建立在极限之上。这一章的目标是：拿到任何一个极限，都知道第一步该做什么。

一、本章地图#

模块要掌握什么常见考法
函数有界、单调、奇偶、周期；复合与反函数选择题判断性质
极限概念定义、左右极限、唯一性、保号性选择题判断真假
求极限七种未定式、等价无穷小、泰勒、洛必达选择、填空、解答第一题
数列极限单调有界、夹逼、定积分定义解答题
无穷小比较阶的比较、反求参数选择、填空
连续与间断间断点分类、闭区间连续函数性质选择、证明题

求极限的总流程：

拿到极限

先代入，判断类型

0/0 或 ∞/∞

∞−∞

0·∞

1^∞

0^0 或 ∞^0

化简 → 等价替换 → 泰勒 → 洛必达

通分 / 有理化 / 倒代换

把一个因子放到分母

套公式 e^lim v·(u−1)

取对数 e^lim v·ln u

拿到极限

先代入，判断类型

0/0 或 ∞/∞

∞−∞

0·∞

1^∞

0^0 或 ∞^0

化简 → 等价替换 → 泰勒 → 洛必达

通分 / 有理化 / 倒代换

把一个因子放到分母

套公式 e^lim v·(u−1)

取对数 e^lim v·ln u

二、核心概念#

1. 函数的四个性质#

  • 有界性：存在 M>0M>0M>0，使 ∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M∣f(x)∣≤M。注意：有界与否要说明“在哪个区间上”。
  • 单调性：在区间上 x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)x1​<x2​⇒f(x1​)<f(x2​)（单调增）。
  • 奇偶性：定义域关于原点对称，f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x) 为奇，f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) 为偶。
  • 周期性：f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)。
奇偶性常用结论

奇 × 奇 = 偶，奇 × 偶 = 奇；可导的奇函数，导数是偶函数；可导的偶函数，导数是奇函数。ln⁡(x+1+x2)\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)ln(x+1+x2​) 是奇函数，这个常在对称区间积分里出现。

2. 极限的定义（读懂即可）#

  • 数列：lim⁡n→∞xn=A\lim\limits_{n\to\infty}x_n=An→∞lim​xn​=A 指对任意 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在 NNN，当 n>Nn>Nn>N 时 ∣xn−A∣<ε|x_n-A|<\varepsilon∣xn​−A∣<ε。
  • 函数：lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=Ax→x0​lim​f(x)=A 指对任意 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在 δ>0\delta>0δ>0，当 0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0​∣<δ 时 ∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon∣f(x)−A∣<ε。

大白话：只要 xxx 足够靠近 x0x_0x0​（但不等于 x0x_0x0​），f(x)f(x)f(x) 就能任意靠近 AAA。所以极限和 f(x0)f(x_0)f(x0​) 本身等于多少、有没有定义都无关。

3. 左右极限#

lim⁡x→x0f(x)=A  ⟺  lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=A.\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A.x→x0​lim​f(x)=A⟺x→x0−​lim​f(x)=x→x0+​lim​f(x)=A.
必须分左右算的情况
  • 分段函数在分段点处
  • 含 e1/xe^{1/x}e1/x：x→0+x\to0^+x→0+ 时趋于 +∞+\infty+∞，x→0−x\to0^-x→0− 时趋于 000
  • 含 arctan⁡1x\arctan\frac1xarctanx1​：x→0±x\to0^\pmx→0± 时分别趋于 ±π2\pm\frac{\pi}{2}±2π​
  • 含 ∣x∣|x|∣x∣、[x][x][x]（取整）、x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|x2​=∣x∣
  • x→∞x\to\inftyx→∞ 时含 exe^xex、arctan⁡x\arctan xarctanx，要分 +∞+\infty+∞ 和 −∞-\infty−∞

4. 极限的三个性质#

  1. 唯一性：极限存在则唯一。
  2. 局部有界性：lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)x→x0​lim​f(x) 存在，则 fff 在 x0x_0x0​ 的某个去心邻域内有界。
  3. 局部保号性：若 lim⁡x→x0f(x)=A>0\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>0x→x0​lim​f(x)=A>0，则在 x0x_0x0​ 附近 f(x)>0f(x)>0f(x)>0；反过来，若在 x0x_0x0​ 附近 f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0 且极限存在，则 A≥0A\ge0A≥0（注意是 ≥\ge≥，不是 >>>）。

5. 无穷小与阶的比较#

设 α→0\alpha\to0α→0，β→0\beta\to0β→0，且 β≠0\beta\ne0β=0：

lim⁡αβ\lim\dfrac{\alpha}{\beta}limβα​结论
000α\alphaα 是比 β\betaβ 高阶的无穷小，记 α=o(β)\alpha=o(\beta)α=o(β)
c≠0c\ne0c=0同阶
111等价，记 α∼β\alpha\sim\betaα∼β
lim⁡αβk=c≠0\lim\dfrac{\alpha}{\beta^k}=c\ne0limβkα​=c=0α\alphaα 是 β\betaβ 的 kkk 阶无穷小

无穷小 × 有界量 = 无穷小。例如 lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac1x=0x→0lim​xsinx1​=0。

6. 连续与间断#

fff 在 x0x_0x0​ 连续：lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)x→x0​lim​f(x)=f(x0​)。三个条件缺一不可：有定义、极限存在、两者相等。

间断点分类：

类型判断方法
第一类·可去左右极限存在且相等，但不等于 f(x0)f(x_0)f(x0​)，或 f(x0)f(x_0)f(x0​) 无定义
第一类·跳跃左右极限都存在，但不相等
第二类·无穷至少一侧极限为 ∞\infty∞
第二类·振荡极限振荡不存在，如 sin⁡1x\sin\frac1xsinx1​ 在 x=0x=0x=0

三、必背公式#

1. 两个重要极限#

lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→∞(1+1x)x=e(等价写法 lim⁡x→0(1+x)1x=e).\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\quad\left(\text{等价写法 }\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e\right).x→0lim​xsinx​=1,x→∞lim​(1+x1​)x=e(等价写法 x→0lim​(1+x)x1​=e).

2. 等价无穷小（x→0x\to0x→0）#

必背·一阶

sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x∼ln⁡(1+x)∼ex−1∼x\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim e^x-1\sim xsinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1∼x 1−cos⁡x∼x22,(1+x)a−1∼ax,ax−1∼xln⁡a1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\qquad (1+x)^a-1\sim ax,\qquad a^x-1\sim x\ln a1−cosx∼2x2​,(1+x)a−1∼ax,ax−1∼xlna

必背·差的阶（加减时用）

x−sin⁡x∼x36,tan⁡x−x∼x33,arcsin⁡x−x∼x36,x−arctan⁡x∼x33x-\sin x\sim\frac{x^3}{6},\quad \tan x-x\sim\frac{x^3}{3},\quad \arcsin x-x\sim\frac{x^3}{6},\quad x-\arctan x\sim\frac{x^3}{3}x−sinx∼6x3​,tanx−x∼3x3​,arcsinx−x∼6x3​,x−arctanx∼3x3​ x−ln⁡(1+x)∼x22,ex−1−x∼x22,tan⁡x−sin⁡x∼x32x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}{2},\qquad e^x-1-x\sim\frac{x^2}{2},\qquad \tan x-\sin x\sim\frac{x^3}{2}x−ln(1+x)∼2x2​,ex−1−x∼2x2​,tanx−sinx∼2x3​

公式里的 xxx 可以换成任何趋于 000 的式子 □\square□，例如 ln⁡(1+x2)∼x2\ln(1+x^2)\sim x^2ln(1+x2)∼x2，esin⁡x−1∼sin⁡x∼xe^{\sin x}-1\sim\sin x\sim xesinx−1∼sinx∼x。

3. 常用泰勒展开（x→0x\to0x→0）#

ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)sin⁡x=x−x33!+o(x4)cos⁡x=1−x22!+x44!+o(x5)ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)(1+x)a=1+ax+a(a−1)2x2+o(x2)tan⁡x=x+x33+o(x3)arcsin⁡x=x+x36+o(x3)arctan⁡x=x−x33+o(x3)\begin{aligned} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)\\ \ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ (1+x)^a&=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+o(x^2)\\ \tan x&=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \arcsin x&=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \arctan x&=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) \end{aligned}exsinxcosxln(1+x)(1+x)atanxarcsinxarctanx​=1+x+2!x2​+3!x3​+o(x3)=x−3!x3​+o(x4)=1−2!x2​+4!x4​+o(x5)=x−2x2​+3x3​+o(x3)=1+ax+2a(a−1)​x2+o(x2)=x+3x3​+o(x3)=x+6x3​+o(x3)=x−3x3​+o(x3)​
展开到几阶？
  • 分式：上下同阶。分母是 x4x^4x4，分子就展开到 x4x^4x4。
  • 加减：展开到第一个不能抵消的项为止。

4. 1^∞ 型公式#

若 u→1u\to1u→1，v→∞v\to\inftyv→∞，则

lim⁡uv=elim⁡v (u−1).\lim u^v=e^{\lim v\,(u-1)}.limuv=elimv(u−1).

5. 增长速度（x→+∞x\to+\inftyx→+∞）#

ln⁡ax≪xb≪cx(a,b>0, c>1);数列： ln⁡an≪nb≪cn≪n!≪nn.\ln^a x\ll x^b\ll c^x\quad(a,b>0,\ c>1);\qquad \text{数列：}\ \ln^a n\ll n^b\ll c^n\ll n!\ll n^n.lnax≪xb≪cx(a,b>0, c>1);数列： lnan≪nb≪cn≪n!≪nn.

四、题型与解题套路#

题型 1：0/0 型#

识别特征：代入后分子分母都是 000。

解法步骤：

  1. 先化简：非零因子先算出来（如 cos⁡x→1\cos x\to1cosx→1 直接代入）；根式先有理化。
  2. 等价替换：只替换乘除中的因子。
  3. 泰勒展开：出现加减、等价替换失效时用。
  4. 洛必达：上面都不好用时再用，每求一次导先化简。

例 1 求 lim⁡x→0cos⁡x−e−x22x4\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}x→0lim​x4cosx−e−2x2​​。

解 分母是 x4x^4x4，分子展开到 x4x^4x4：

cos⁡x=1−x22+x424+o(x4),e−x22=1−x22+12⋅x44+o(x4)=1−x22+x48+o(x4).\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),\qquad e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac12\cdot\frac{x^4}{4}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4).cosx=1−2x2​+24x4​+o(x4),e−2x2​=1−2x2​+21​⋅4x4​+o(x4)=1−2x2​+8x4​+o(x4).

相减：cos⁡x−e−x22=(124−324)x4+o(x4)=−x412+o(x4)\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}=\left(\frac1{24}-\frac{3}{24}\right)x^4+o(x^4)=-\frac{x^4}{12}+o(x^4)cosx−e−2x2​=(241​−243​)x4+o(x4)=−12x4​+o(x4)，所以极限为 −112\boxed{-\dfrac{1}{12}}−121​​。

易错

这题如果把 cos⁡x\cos xcosx 和 e−x2/2e^{-x^2/2}e−x2/2 都替换成 1−x221-\frac{x^2}{2}1−2x2​，分子会变成 000，这是错误的。加减中替换，必须保留到不能抵消的那一项。

题型 2：∞−∞ 型#

识别特征：两个都趋于 ∞\infty∞ 的式子相减。

解法：

  • 分式相减 → 通分，化成 0/0。
  • 根式相减 → 有理化。
  • x→∞x\to\inftyx→∞ 且不好通分 → 倒代换 t=1xt=\frac1xt=x1​。

例 2 求 lim⁡x→0(1x2−1xtan⁡x)\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{x^2}-\frac1{x\tan x}\right)x→0lim​(x21​−xtanx1​)。

解 通分：

1x2−1xtan⁡x=tan⁡x−xx2tan⁡x∼x33x3→13.\frac1{x^2}-\frac1{x\tan x}=\frac{\tan x-x}{x^2\tan x}\sim\frac{\frac{x^3}{3}}{x^3}\to\boxed{\frac13}.x21​−xtanx1​=x2tanxtanx−x​∼x33x3​​→31​​.

分母中 tan⁡x\tan xtanx 是乘积因子，可以换成 xxx；分子是差，用必背的 tan⁡x−x∼x33\tan x-x\sim\frac{x^3}{3}tanx−x∼3x3​。

例 3 求 lim⁡x→+∞[x−x2ln⁡(1+1x)]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right]x→+∞lim​[x−x2ln(1+x1​)]。

解 令 t=1x→0+t=\frac1x\to0^+t=x1​→0+：

原式=lim⁡t→0+[1t−ln⁡(1+t)t2]=lim⁡t→0+t−ln⁡(1+t)t2=12.\text{原式}=\lim_{t\to0^+}\left[\frac1t-\frac{\ln(1+t)}{t^2}\right]=\lim_{t\to0^+}\frac{t-\ln(1+t)}{t^2}=\boxed{\frac12}.原式=t→0+lim​[t1​−t2ln(1+t)​]=t→0+lim​t2t−ln(1+t)​=21​​.

例 4 求 lim⁡x→+∞(x2+x−x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)x→+∞lim​(x2+x​−x)。

解 有理化：xx2+x+x=11+1x+1→12\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\boxed{\frac12}x2+x​+xx​=1+x1​​+11​→21​​。

题型 3：0·∞ 型#

解法：把其中一个因子“翻”到分母，变成 0/0 或 ∞/∞。一般把对数、反三角函数留在分子，因为它们求导后更简单。

例如 lim⁡x→0+xln⁡x=lim⁡x→0+ln⁡x1x=洛lim⁡x→0+1x−1x2=lim⁡x→0+(−x)=0\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac1x}\overset{\text{洛}}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0x→0+lim​xlnx=x→0+lim​x1​lnx​=洛x→0+lim​−x21​x1​​=x→0+lim​(−x)=0。

必背

lim⁡x→0+xaln⁡x=0 (a>0)\lim\limits_{x\to0^+}x^a\ln x=0\ (a>0)x→0+lim​xalnx=0 (a>0)，后面会反复用到。

题型 4：1^∞ 型#

识别特征：底数趋于 111，指数趋于 ∞\infty∞。

解法：直接套公式 lim⁡uv=elim⁡v(u−1)\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}limuv=elimv(u−1)。

例 5 求 lim⁡x→0(cos⁡x)1x2\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac1{x^2}}x→0lim​(cosx)x21​。

解 v(u−1)=cos⁡x−1x2→−12v(u-1)=\dfrac{\cos x-1}{x^2}\to-\dfrac12v(u−1)=x2cosx−1​→−21​，所以原式 =e−12=\boxed{e^{-\frac12}}=e−21​​。

例 6 求 lim⁡x→∞(x+1x−1)x\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^xx→∞lim​(x−1x+1​)x。

解 u−1=2x−1u-1=\dfrac{2}{x-1}u−1=x−12​，v(u−1)=2xx−1→2v(u-1)=\dfrac{2x}{x-1}\to2v(u−1)=x−12x​→2，所以原式 =e2=\boxed{e^2}=e2​。

题型 5：0^0 与 ∞^0 型#

解法：取对数，uv=evln⁡uu^v=e^{v\ln u}uv=evlnu，指数部分变成 0·∞。

例 7 求 lim⁡x→0+xsin⁡x\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sin x}x→0+lim​xsinx。

解 sin⁡xln⁡x∼xln⁡x→0\sin x\ln x\sim x\ln x\to0sinxlnx∼xlnx→0，所以原式 =e0=1=e^0=\boxed{1}=e0=1​。

题型 6：数列极限#

三种主要方法：

方法识别特征
单调有界准则递推数列 xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)xn+1​=f(xn​)
夹逼准则nnn 项求和，每项分母“差一点点”一样
定积分定义nnn 项求和，可以写成 1n∑f(kn)\frac1n\sum f\left(\frac kn\right)n1​∑f(nk​)，详见第 06 篇

另外，数列极限可以转成函数极限再算（把 nnn 换成 xxx），这样就能用洛必达。数列本身不连续，不能直接对 nnn 求导。

例 8（夹逼） 求 lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}n→∞lim​k=1∑n​n2+kn​。

解 每一项满足 nn2+n≤nn2+k≤nn2+1\dfrac{n}{n^2+n}\le\dfrac{n}{n^2+k}\le\dfrac{n}{n^2+1}n2+nn​≤n2+kn​≤n2+1n​，求和得

n2n2+n≤∑k=1nnn2+k≤n2n2+1.\frac{n^2}{n^2+n}\le\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}\le\frac{n^2}{n^2+1}.n2+nn2​≤k=1∑n​n2+kn​≤n2+1n2​.

两边都趋于 111，所以极限为 1\boxed{1}1​。

例 9（单调有界） 设 x1=2x_1=\sqrt2x1​=2​，xn+1=2+xnx_{n+1}=\sqrt{2+x_n}xn+1​=2+xn​​，证明 {xn}\{x_n\}{xn​} 收敛并求极限。

解 套路固定为三步：

  1. 有界（数学归纳法）：x1=2<2x_1=\sqrt2<2x1​=2​<2；若 xn<2x_n<2xn​<2，则 xn+1=2+xn<4=2x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt4=2xn+1​=2+xn​​<4​=2。所以 0<xn<20<x_n<20<xn​<2。
  2. 单调：xn+12−xn2=2+xn−xn2=(2−xn)(1+xn)>0x_{n+1}^2-x_n^2=2+x_n-x_n^2=(2-x_n)(1+x_n)>0xn+12​−xn2​=2+xn​−xn2​=(2−xn​)(1+xn​)>0，所以 xn+1>xnx_{n+1}>x_nxn+1​>xn​，单调递增。
  3. 求极限：单调有界必收敛，设极限为 AAA，对递推式两边取极限得 A=2+AA=\sqrt{2+A}A=2+A​，解得 A=2A=2A=2（A=−1A=-1A=−1 舍去，因为 xn>0x_n>0xn​>0）。
易错

必须先证明极限存在，才能对递推式两边取极限。否则会出现类似这样的错误：xn+1=2xnx_{n+1}=2x_nxn+1​=2xn​，“设极限为 AAA”，得 A=2AA=2AA=2A，A=0A=0A=0，但这个数列其实是发散的。

题型 7：无穷小比较与反求参数#

解法：把两个无穷小都化成 cxkcx^kcxk 的形式（用等价或泰勒），比较 kkk 和 ccc。

例 10 当 x→0x\to0x→0 时，(1+ax2)13−1(1+ax^2)^{\frac13}-1(1+ax2)31​−1 与 cos⁡x−1\cos x-1cosx−1 是等价无穷小，求 aaa。

解 (1+ax2)13−1∼a3x2(1+ax^2)^{\frac13}-1\sim\dfrac{a}{3}x^2(1+ax2)31​−1∼3a​x2，cos⁡x−1∼−x22\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}cosx−1∼−2x2​。等价要求 a3=−12\dfrac a3=-\dfrac123a​=−21​，所以 a=−32\boxed{a=-\dfrac32}a=−23​​。

例 11 已知 lim⁡x→0ln⁡(1+x)−(ax+bx2)x2=2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2x→0lim​x2ln(1+x)−(ax+bx2)​=2，求 a,ba,ba,b。

解 分子泰勒展开：

ln⁡(1+x)−ax−bx2=(1−a)x+(−12−b)x2+o(x2).\ln(1+x)-ax-bx^2=(1-a)x+\left(-\frac12-b\right)x^2+o(x^2).ln(1+x)−ax−bx2=(1−a)x+(−21​−b)x2+o(x2).

除以 x2x^2x2 后极限存在，xxx 的系数必须为 000：a=1a=1a=1；再令 −12−b=2-\frac12-b=2−21​−b=2，得 b=−52b=-\frac52b=−25​。

反求参数的通用思路

极限是有限值，而分母趋于 000，那么分子也必须趋于 000。泰勒展开后，从低阶到高阶逐项让系数满足条件。

题型 8：间断点分类#

解法步骤：

  1. 找可疑点：分母为 000 的点、分段点、对数和根号的定义域端点。
  2. 对每个点分别求左右极限。
  3. 对照分类表下结论。

例 12 求 f(x)=x2−x∣x∣(x2−1)f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}f(x)=∣x∣(x2−1)x2−x​ 的间断点并分类。

解 可疑点为 x=0,±1x=0,\pm1x=0,±1。当 x≠1x\ne1x=1 时，约去 x−1x-1x−1，得 f(x)=x∣x∣(x+1)f(x)=\dfrac{x}{|x|(x+1)}f(x)=∣x∣(x+1)x​。

  • x=0x=0x=0：x∣x∣\dfrac{x}{|x|}∣x∣x​ 在左侧为 −1-1−1，右侧为 111，所以 f(0−)=−1f(0^-)=-1f(0−)=−1，f(0+)=1f(0^+)=1f(0+)=1，是跳跃间断点。
  • x=1x=1x=1：lim⁡x→1f(x)=11⋅2=12\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac12x→1lim​f(x)=1⋅21​=21​，但 f(1)f(1)f(1) 无定义，是可去间断点。
  • x=−1x=-1x=−1：在 −1-1−1 附近 x∣x∣=−1\dfrac{x}{|x|}=-1∣x∣x​=−1，f(x)=−1x+1→∞f(x)=-\dfrac{1}{x+1}\to\inftyf(x)=−x+11​→∞，是无穷间断点。

题型 9：零点定理证明方程有根#

闭区间上连续函数的性质：

  • 最值定理：在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，必有最大值和最小值（因此必有界）。
  • 介值定理：能取到最大值和最小值之间的任何值。
  • 零点定理：若 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0，则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

例 13 证明方程 x5−3x=1x^5-3x=1x5−3x=1 在 (1,2)(1,2)(1,2) 内至少有一个根。

证 令 f(x)=x5−3x−1f(x)=x^5-3x-1f(x)=x5−3x−1，它在 [1,2][1,2][1,2] 上连续。f(1)=−3<0f(1)=-3<0f(1)=−3<0，f(2)=25>0f(2)=25>0f(2)=25>0，由零点定理，存在 ξ∈(1,2)\xi\in(1,2)ξ∈(1,2) 使 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

证“恰有一个根”

零点定理只能证明“至少一个”。要证“恰好一个”，再加上单调性（下一篇用导数判断）。

五、证明思路#

1. 为什么 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1x→0lim​xsinx​=1#

在单位圆中，对 0<x<π20<x<\frac\pi20<x<2π​，比较三块面积：三角形 <<< 扇形 <<< 大三角形，即

12sin⁡x<12x<12tan⁡x ⟹ cos⁡x<sin⁡xx<1.\frac12\sin x<\frac12x<\frac12\tan x\ \Longrightarrow\ \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.21​sinx<21​x<21​tanx ⟹ cosx<xsinx​<1.

cos⁡x→1\cos x\to1cosx→1，由夹逼准则得极限为 111。x<0x<0x<0 时由偶函数性质同样成立。

2. 为什么等价替换只能替换乘除因子#

若 α∼α′\alpha\sim\alpha'α∼α′，则

lim⁡αβ=lim⁡αα′⋅α′β=1⋅lim⁡α′β.\lim\alpha\beta=\lim\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\alpha'\beta=1\cdot\lim\alpha'\beta.limαβ=limα′α​⋅α′β=1⋅limα′β.

这一步只依赖“乘一个趋于 111 的因子”。加减时没有这样的因子可以拆出来，替换会丢掉高阶项，所以不成立。

3. 为什么 lim⁡uv=elim⁡v(u−1)\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}limuv=elimv(u−1)#

uv=evln⁡uu^v=e^{v\ln u}uv=evlnu，而 u→1u\to1u→1 时 ln⁡u=ln⁡(1+(u−1))∼u−1\ln u=\ln\bigl(1+(u-1)\bigr)\sim u-1lnu=ln(1+(u−1))∼u−1，所以 vln⁡uv\ln uvlnu 与 v(u−1)v(u-1)v(u−1) 的极限相同。

4. 为什么零点定理成立（二分法）#

把 [a,b][a,b][a,b] 对半分，总有一半端点处函数值异号；不断对半分，得到一串长度趋于 000 的闭区间，它们收缩到一点 ξ\xiξ。由连续性，f(ξ)f(\xi)f(ξ) 既 ≤0\le0≤0 又 ≥0\ge0≥0，所以 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

六、易错点#

洛必达的条件

洛必达要求“求导后的极限存在或为 ∞\infty∞”。如果求导后极限不存在，不能说明原极限不存在。

例如 lim⁡x→∞x+sin⁡xx\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+\sin x}{x}x→∞lim​xx+sinx​：洛必达后得到 lim⁡(1+cos⁡x)\lim(1+\cos x)lim(1+cosx)，不存在；但原式 =lim⁡(1+sin⁡xx)=1=\lim\left(1+\dfrac{\sin x}{x}\right)=1=lim(1+xsinx​)=1。

  • 加减中乱用等价替换：tan⁡x−sin⁡x\tan x-\sin xtanx−sinx 不能替换成 x−x=0x-x=0x−x=0。
  • 忘记分左右：e1/xe^{1/x}e1/x、arctan⁡1x\arctan\frac1xarctanx1​、∣x∣|x|∣x∣、分段函数，以及 x→∞x\to\inftyx→∞ 时的 exe^xex。
  • x→0x\to0x→0 和 x→∞x\to\inftyx→∞ 搞混：lim⁡x→0xsin⁡1x=0\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac1x=0x→0lim​xsinx1​=0（无穷小乘有界），但 lim⁡x→∞xsin⁡1x=1\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac1x=1x→∞lim​xsinx1​=1（sin⁡1x∼1x\sin\frac1x\sim\frac1xsinx1​∼x1​）。
  • 1^∞ 当成 1：(1+1x)x(1+\frac1x)^x(1+x1​)x 的底数趋于 111，但结果是 eee。
  • 数列直接用洛必达：要先换成函数极限。
  • 递推数列没证收敛就求极限。
  • 保号性的方向：f(x)>0f(x)>0f(x)>0 只能推出极限 ≥0\ge0≥0。

七、小练习#

1. 求 lim⁡x→0x−sin⁡xx2ln⁡(1+x)\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2\ln(1+x)}x→0lim​x2ln(1+x)x−sinx​。

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分母 x2ln⁡(1+x)∼x3x^2\ln(1+x)\sim x^3x2ln(1+x)∼x3，分子 x−sin⁡x∼x36x-\sin x\sim\dfrac{x^3}{6}x−sinx∼6x3​，所以极限为 16\dfrac1661​。

2. 求 lim⁡x→0(1+2x)1sin⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac1{\sin x}}x→0lim​(1+2x)sinx1​。

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1^∞ 型：v(u−1)=2xsin⁡x→2v(u-1)=\dfrac{2x}{\sin x}\to2v(u−1)=sinx2x​→2，所以极限为 e2e^2e2。

3. 求 lim⁡x→0ex−esin⁡xx−sin⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}x→0lim​x−sinxex−esinx​。

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提出公因式：ex−esin⁡x=esin⁡x(ex−sin⁡x−1)∼1⋅(x−sin⁡x)e^x-e^{\sin x}=e^{\sin x}\left(e^{x-\sin x}-1\right)\sim1\cdot(x-\sin x)ex−esinx=esinx(ex−sinx−1)∼1⋅(x−sinx)，所以极限为 111。

套路：两个指数相减，先提公因式，再用 e□−1∼□e^{\square}-1\sim\squaree□−1∼□。

4. 求 lim⁡n→∞(1+1n+1n2)n\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n+\frac1{n^2}\right)^nn→∞lim​(1+n1​+n21​)n。

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1^∞ 型：v(u−1)=n(1n+1n2)=1+1n→1v(u-1)=n\left(\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\right)=1+\dfrac1n\to1v(u−1)=n(n1​+n21​)=1+n1​→1，所以极限为 eee。

5. 求 f(x)=11−exx−1f(x)=\dfrac{1}{1-e^{\frac{x}{x-1}}}f(x)=1−ex−1x​1​ 的间断点并分类。

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可疑点为 x=0x=0x=0（分母 1−e0=01-e^0=01−e0=0）和 x=1x=1x=1（指数无定义）。

  • x=0x=0x=0：xx−1→0\dfrac{x}{x-1}\to0x−1x​→0，分母 →0\to0→0，f(x)→∞f(x)\to\inftyf(x)→∞，是无穷间断点。

  • x=1x=1x=1：

    • x→1+x\to1^+x→1+ 时 xx−1→+∞\dfrac{x}{x-1}\to+\inftyx−1x​→+∞，exx−1→+∞e^{\frac{x}{x-1}}\to+\inftyex−1x​→+∞，f(x)→0f(x)\to0f(x)→0；
    • x→1−x\to1^-x→1− 时 xx−1→−∞\dfrac{x}{x-1}\to-\inftyx−1x​→−∞，exx−1→0e^{\frac{x}{x-1}}\to0ex−1x​→0，f(x)→1f(x)\to1f(x)→1。

    左右极限存在但不相等，是跳跃间断点。

八、本章小结#

  • 求极限第一步永远是代入判断类型，然后按流程图选方法。
  • 等价替换只用于乘除因子；加减用泰勒，展开到不能抵消为止。
  • 1^∞ 直接套 elim⁡v(u−1)e^{\lim v(u-1)}elimv(u−1)；0^0、∞^0 先取对数。
  • 递推数列用单调有界，并且要先证收敛；求和型用夹逼或定积分定义。
  • 间断点：先找可疑点，再算左右极限，最后对照分类表。

下一篇：02 导数与微分。

]]> https://gsxbxsg.github.io/posts/gaoshu-02-derivative/ 高数速成复习 02：导数与微分 2026-10-03T00:00:00.000Z 2026-10-03T00:00:00.000Z ELEC 导数定义是选择题的高频陷阱，求导是后面所有章节的基本功。本篇讲清导数定义的判断、可导性、各类求导方法、高阶导数和微分。 这一章分两部分：导数定义（考概念，选择题常设陷阱）和求导计算（考熟练度，后面每章都要用）。目标是：定义题不踩坑，求导题不算错。

一、本章地图#

模块要掌握什么常见考法
导数定义定义式的变形、左右导数选择题判断可导；用定义求导
可导性可导与连续的关系、分段点、绝对值函数选择、填空
求导法则四则、复合、反函数基本功
特殊求导隐函数、参数方程、对数求导法填空、解答
高阶导数常见 nnn 阶公式、莱布尼茨公式、泰勒法填空
微分与应用微分、切线法线、相关变化率填空

拿到求导题

函数怎么给出

显函数 y=f(x)

隐函数 F(x,y)=0

参数方程 x=x(t), y=y(t)

分段函数

复合函数：链式法则

幂指函数/连乘：对数求导

两边对 x 求导，y 看成 y(x)

dy/dx = y'(t)/x'(t)

分段点用定义，其他点用公式

拿到求导题

函数怎么给出

显函数 y=f(x)

隐函数 F(x,y)=0

参数方程 x=x(t), y=y(t)

分段函数

复合函数：链式法则

幂指函数/连乘：对数求导

两边对 x 求导，y 看成 y(x)

dy/dx = y'(t)/x'(t)

分段点用定义，其他点用公式

二、核心概念#

1. 导数的定义#

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​.

大白话：导数是函数在一点处的瞬时变化率，几何意义是切线斜率。

定义式的结构（判断题全靠它）

一个合法的导数定义式必须同时满足：

  1. 一端固定：减去的必须是 f(x0)f(x_0)f(x0​) 本身；
  2. 另一端动：动点 x0+□x_0+\squarex0​+□ 中的 □→0\square\to0□→0，且能从两侧趋于 000；
  3. 分母与增量一致：分母正好是 □\square□（或与它等价）。

2. 左右导数#

f−′(x0)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0,f+′(x0)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0.f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\qquad f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.f−′​(x0​)=x→x0−​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​,f+′​(x0​)=x→x0+​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​.

fff 在 x0x_0x0​ 可导   ⟺  \iff⟺ 左右导数都存在且相等。

3. 可导与连续#

可导⟹连续,连续⟹̸可导.\text{可导}\Longrightarrow\text{连续},\qquad\text{连续}\not\Longrightarrow\text{可导}.可导⟹连续,连续⟹可导.

反例：f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣ 在 x=0x=0x=0 连续但不可导（左导数 −1-1−1，右导数 111，图像有尖点）。

4. 微分#

若 Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx)，则称 fff 在 x0x_0x0​ 可微，dy=AΔx\mathrm dy=A\Delta xdy=AΔx。

对一元函数：可微   ⟺  \iff⟺ 可导，且 dy=f′(x0) dx\mathrm dy=f'(x_0)\,\mathrm dxdy=f′(x0​)dx。

一阶微分形式不变性：无论 uuu 是自变量还是中间变量，都有 df(u)=f′(u) du\mathrm d f(u)=f'(u)\,\mathrm dudf(u)=f′(u)du。这在隐函数和后面的积分换元中很有用。

三、必背公式#

1. 基本导数表#

(xa)′=axa−1(ax)′=axln⁡a(log⁡ax)′=1xln⁡a(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(tan⁡x)′=sec⁡2x(cot⁡x)′=−csc⁡2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(arcsin⁡x)′=11−x2(arccos⁡x)′=−11−x2(arctan⁡x)′=11+x2(arccot⁡x)′=−11+x2[ln⁡(x+x2±1)]′=1x2±1(ln⁡∣x∣)′=1x\begin{aligned} &(x^a)'=ax^{a-1} && (a^x)'=a^x\ln a && (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\\ &(\sin x)'=\cos x && (\cos x)'=-\sin x && (\tan x)'=\sec^2x\\ &(\cot x)'=-\csc^2x && (\sec x)'=\sec x\tan x && (\csc x)'=-\csc x\cot x\\ &(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\\ &(\operatorname{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2} && \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2\pm1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2\pm1}} && (\ln|x|)'=\frac1x \end{aligned}​(xa)′=axa−1(sinx)′=cosx(cotx)′=−csc2x(arcsinx)′=1−x2​1​(arccotx)′=−1+x21​​​(ax)′=axlna(cosx)′=−sinx(secx)′=secxtanx(arccosx)′=−1−x2​1​[ln(x+x2±1​)]′=x2±1​1​​​(loga​x)′=xlna1​(tanx)′=sec2x(cscx)′=−cscxcotx(arctanx)′=1+x21​(ln∣x∣)′=x1​​

2. 求导法则#

(uv)′=u′v+uv′,(uv)′=u′v−uv′v2,[f(g(x))]′=f′(g(x)) g′(x).(uv)'=u'v+uv',\qquad\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\qquad [f(g(x))]'=f'(g(x))\,g'(x).(uv)′=u′v+uv′,(vu​)′=v2u′v−uv′​,[f(g(x))]′=f′(g(x))g′(x).

3. 反函数、参数方程#

必背

反函数： dxdy=1y′,d2xdy2=−y′′(y′)3\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{1}{y'},\qquad \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}=-\frac{y''}{(y')^3}dydx​=y′1​,dy2d2x​=−(y′)3y′′​ 参数方程 x=x(t), y=y(t)x=x(t),\ y=y(t)x=x(t), y=y(t)： dydx=y′(t)x′(t),d2ydx2=ddt(dydx)x′(t)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\qquad \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)}{x'(t)}dxdy​=x′(t)y′(t)​,dx2d2y​=x′(t)dtd​(dxdy​)​

4. 常见 n 阶导数#

(eax)(n)=aneax(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+nπ2)(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+nπ2)(1x+a)(n)=(−1)nn!(x+a)n+1[ln⁡(1+x)](n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n(xm)(n)=0(n>m)\begin{aligned} &(e^{ax})^{(n)}=a^ne^{ax} && (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\\ &(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) && \left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}\\ &\left[\ln(1+x)\right]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n} && (x^m)^{(n)}=0\quad(n>m) \end{aligned}​(eax)(n)=aneax(cosx)(n)=cos(x+2nπ​)[ln(1+x)](n)=(1+x)n(−1)n−1(n−1)!​​​(sinx)(n)=sin(x+2nπ​)(x+a1​)(n)=(x+a)n+1(−1)nn!​(xm)(n)=0(n>m)​

5. 莱布尼茨公式#

(uv)(n)=∑k=0n(nk)u(k)v(n−k).(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.(uv)(n)=k=0∑n​(kn​)u(k)v(n−k).

形式和二项式定理一样。适用于一个因子是多项式的情况，因为多项式求几次导就变成 000，求和只剩几项。

6. 切线与法线#

曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 处：

切线：y−y0=f′(x0)(x−x0),法线：y−y0=−1f′(x0)(x−x0).\text{切线：}y-y_0=f'(x_0)(x-x_0),\qquad\text{法线：}y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).切线：y−y0​=f′(x0​)(x−x0​),法线：y−y0​=−f′(x0​)1​(x−x0​).

四、题型与解题套路#

题型 1：已知极限，求导数#

识别特征：题目给出含 fff 的极限，问 f′(x0)f'(x_0)f′(x0​)。

解法：把所给极限凑成导数定义的形式。常用两个技巧：

  • 先由“分母趋于 000、极限存在”推出 f(x0)f(x_0)f(x0​) 的值；
  • 分子加一项减一项 f(x0)f(x_0)f(x0​)，拆成两个定义式。

例 1 设 f(x)f(x)f(x) 在 x=0x=0x=0 处连续，且 lim⁡x→0f(x)x=2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2x→0lim​xf(x)​=2，求 f(0)f(0)f(0) 和 f′(0)f'(0)f′(0)。

解 分母 →0\to0→0，极限存在，所以 lim⁡x→0f(x)=0\lim\limits_{x\to0}f(x)=0x→0lim​f(x)=0；又 fff 连续，得 f(0)=0f(0)=0f(0)=0。于是

f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x=lim⁡x→0f(x)x=2.f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\boxed2.f′(0)=x→0lim​xf(x)−f(0)​=x→0lim​xf(x)​=2​.

例 2 设 f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) 存在，求 lim⁡h→0f(x0+2h)−f(x0−h)h\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}h→0lim​hf(x0​+2h)−f(x0​−h)​。

解 加一项减一项 f(x0)f(x_0)f(x0​)：

f(x0+2h)−f(x0)h−f(x0−h)−f(x0)h=2⋅f(x0+2h)−f(x0)2h+f(x0−h)−f(x0)−h→2f′(x0)+f′(x0)=3f′(x0).\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}-\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}=2\cdot\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}+\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\to2f'(x_0)+f'(x_0)=\boxed{3f'(x_0)}.hf(x0​+2h)−f(x0​)​−hf(x0​−h)−f(x0​)​=2⋅2hf(x0​+2h)−f(x0​)​+−hf(x0​−h)−f(x0​)​→2f′(x0​)+f′(x0​)=3f′(x0​)​.
这种拆法的前提

只有已知 f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) 存在时才能这样拆。反过来，由这种“两端都动”的极限存在，推不出 f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) 存在，见题型 2。

题型 2：判断可导（选择题陷阱）#

解法：对照“一端固定、另一端从两侧动、分母一致”三条逐一检查。

例 3 设 f(0)=0f(0)=0f(0)=0，下列哪个条件能推出 f(x)f(x)f(x) 在 x=0x=0x=0 处可导？

  • (A) lim⁡h→0f(h)−f(−h)2h\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h}h→0lim​2hf(h)−f(−h)​ 存在
  • (B) lim⁡h→0f(1−cos⁡h)h2\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1-\cos h)}{h^2}h→0lim​h2f(1−cosh)​ 存在
  • (C) lim⁡h→0f(h3)h3\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h^3)}{h^3}h→0lim​h3f(h3)​ 存在
  • (D) lim⁡h→0f(2h)−f(h)h\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(2h)-f(h)}{h}h→0lim​hf(2h)−f(h)​ 存在

解

  • (A) 两端都动，没有固定的 f(0)f(0)f(0)。反例：f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣，分子恒为 000，极限存在，但 fff 在 000 处不可导。
  • (B) 1−cos⁡h≥01-\cos h\ge01−cosh≥0，动点只从右侧趋于 000，只能推出右导数 f+′(0)f'_+(0)f+′​(0) 存在。反例同样是 ∣x∣|x|∣x∣。
  • (C) t=h3t=h^3t=h3 能从两侧趋于 000，f(h3)h3=f(t)−f(0)t\dfrac{f(h^3)}{h^3}=\dfrac{f(t)-f(0)}{t}h3f(h3)​=tf(t)−f(0)​，正好是定义式。能推出。
  • (D) 两端都动。反例：f(0)=0f(0)=0f(0)=0，x≠0x\ne0x=0 时 f(x)=1f(x)=1f(x)=1。分子 f(2h)−f(h)f(2h)-f(h)f(2h)−f(h) 恒为 000，极限存在，但 fff 在 000 处不连续，更不可导。

答案为 C\boxed{\text{C}}C​。

速判口诀

平方、1−cos⁡1-\cos1−cos、eh−1e^h-1eh−1 中的 h2h^2h2 这类恒非负的增量，只能得到单侧导数；奇次幂 h3h^3h3、sin⁡h\sin hsinh、tan⁡h\tan htanh 这类能取正负的增量没问题。

题型 3：分段函数与绝对值函数的可导性#

解法：

  • 分段点：必须用定义分别求左右导数，不能直接对两段公式求导后代入（除非已知导函数在该点的极限存在）。
  • 含参数：先由连续列一个方程，再由左右导数相等列一个方程。
  • 绝对值：用下面这个结论。
必背结论

设 φ(x)\varphi(x)φ(x) 在 x=ax=ax=a 处连续，则 φ(x) ∣x−a∣\varphi(x)\,|x-a|φ(x)∣x−a∣ 在 x=ax=ax=a 处可导   ⟺  φ(a)=0\iff\varphi(a)=0⟺φ(a)=0。

例 4 设 f(x)={ex,x≤0ax+b,x>0f(x)=\begin{cases}e^x,&x\le0\\ax+b,&x>0\end{cases}f(x)={ex,ax+b,​x≤0x>0​ 在 x=0x=0x=0 处可导，求 a,ba,ba,b。

解

  • 连续：f(0+)=bf(0^+)=bf(0+)=b，f(0)=e0=1f(0)=e^0=1f(0)=e0=1，所以 b=1b=1b=1。
  • 可导：f−′(0)=(ex)′∣x=0=1f'_-(0)=(e^x)'\big|_{x=0}=1f−′​(0)=(ex)′​x=0​=1，f+′(0)=lim⁡x→0+ax+1−1x=af'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ax+1-1}{x}=af+′​(0)=x→0+lim​xax+1−1​=a，所以 a=1a=1a=1。

答案：a=1, b=1\boxed{a=1,\ b=1}a=1, b=1​。

例 5 求 f(x)=(x2−x−2) ∣x3−x∣f(x)=(x^2-x-2)\,|x^3-x|f(x)=(x2−x−2)∣x3−x∣ 的不可导点个数。

解 ∣x3−x∣=∣x∣ ∣x−1∣ ∣x+1∣|x^3-x|=|x|\,|x-1|\,|x+1|∣x3−x∣=∣x∣∣x−1∣∣x+1∣，可疑点为 x=0,1,−1x=0,1,-1x=0,1,−1。对每个点，把其余因子看成 φ(x)\varphi(x)φ(x)：

点φ(x)\varphi(x)φ(x)φ\varphiφ 在该点的值结论
x=0x=0x=0(x2−x−2) ∣x−1∣ ∣x+1∣(x^2-x-2)\,\lvert x-1\rvert\,\lvert x+1\rvert(x2−x−2)∣x−1∣∣x+1∣−2≠0-2\ne0−2=0不可导
x=1x=1x=1(x2−x−2) ∣x∣ ∣x+1∣(x^2-x-2)\,\lvert x\rvert\,\lvert x+1\rvert(x2−x−2)∣x∣∣x+1∣−4≠0-4\ne0−4=0不可导
x=−1x=-1x=−1(x2−x−2) ∣x∣ ∣x−1∣(x^2-x-2)\,\lvert x\rvert\,\lvert x-1\rvert(x2−x−2)∣x∣∣x−1∣000可导

不可导点共 2\boxed{2}2​ 个。

题型 4：复合函数与对数求导法#

解法：

  • 复合函数：从外往里一层层求导，每层乘上里一层的导数。
  • 幂指函数 uvu^vuv、多个因子连乘除、带根号：先取对数再求导。

例 6 求 y=xsin⁡x (x>0)y=x^{\sin x}\ (x>0)y=xsinx (x>0) 的导数。

解 取对数：ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y=\sin x\ln xlny=sinxlnx。两边对 xxx 求导：

y′y=cos⁡xln⁡x+sin⁡xx ⟹ y′=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx).\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\ \Longrightarrow\ y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right).yy′​=cosxlnx+xsinx​ ⟹ y′=xsinx(cosxlnx+xsinx​).

也可以直接写成 y=esin⁡xln⁡xy=e^{\sin x\ln x}y=esinxlnx 再按复合函数求导，结果一样。

题型 5：隐函数求导#

解法步骤：

  1. 方程两边同时对 xxx 求导，把 yyy 看成 xxx 的函数，遇到 yyy 的函数要乘 y′y'y′；
  2. 解出 y′y'y′；
  3. 求二阶导时，对第 1 步的式子再求一次导，然后代入已知的 x,y,y′x,y,y'x,y,y′ 的值，比先解出 y′y'y′ 再求导更省事。

例 7 设 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 由 ey+xy=ee^y+xy=eey+xy=e 确定，求 y′(0)y'(0)y′(0) 和 y′′(0)y''(0)y′′(0)。

解 先求点：x=0x=0x=0 时 ey=ee^y=eey=e，得 y(0)=1y(0)=1y(0)=1。

两边对 xxx 求导：

eyy′+y+xy′=0.(1)e^yy'+y+xy'=0. \tag{1}eyy′+y+xy′=0.(1)

代入 x=0, y=1x=0,\ y=1x=0, y=1：ey′+1=0ey'+1=0ey′+1=0，所以 y′(0)=−1ey'(0)=-\dfrac1ey′(0)=−e1​。

对 (1) 再求导：

ey(y′)2+eyy′′+y′+y′+xy′′=0.e^y(y')^2+e^yy''+y'+y'+xy''=0.ey(y′)2+eyy′′+y′+y′+xy′′=0.

代入 x=0, y=1, y′=−1ex=0,\ y=1,\ y'=-\frac1ex=0, y=1, y′=−e1​：e⋅1e2+ey′′−2e=0e\cdot\dfrac1{e^2}+ey''-\dfrac2e=0e⋅e21​+ey′′−e2​=0，得 y′′(0)=1e2y''(0)=\boxed{\dfrac{1}{e^2}}y′′(0)=e21​​。

题型 6：参数方程求导#

例 8 设 {x=t−sin⁡ty=1−cos⁡t\begin{cases}x=t-\sin t\\y=1-\cos t\end{cases}{x=t−sinty=1−cost​，求 t=π2t=\dfrac\pi2t=2π​ 处的 dydx\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}dxdy​ 和 d2ydx2\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}dx2d2y​。

解 一阶：

dydx=sin⁡t1−cos⁡t.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}.dxdy​=1−costsint​.

二阶：先把一阶导数对 ttt 求导，再除以 x′(t)x'(t)x′(t)：

ddt(sin⁡t1−cos⁡t)=cos⁡t(1−cos⁡t)−sin⁡2t(1−cos⁡t)2=cos⁡t−1(1−cos⁡t)2=−11−cos⁡t,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin^2t}{(1-\cos t)^2}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^2}=-\frac{1}{1-\cos t},dtd​(1−costsint​)=(1−cost)2cost(1−cost)−sin2t​=(1−cost)2cost−1​=−1−cost1​,d2ydx2=−11−cos⁡t1−cos⁡t=−1(1−cos⁡t)2.\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{-\frac{1}{1-\cos t}}{1-\cos t}=-\frac{1}{(1-\cos t)^2}.dx2d2y​=1−cost−1−cost1​​=−(1−cost)21​.

代入 t=π2t=\dfrac\pi2t=2π​：dydx=1\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\boxed1dxdy​=1​，d2ydx2=−1\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\boxed{-1}dx2d2y​=−1​。

最常见的错误

二阶导写成 y′′(t)x′′(t)\dfrac{y''(t)}{x''(t)}x′′(t)y′′(t)​，或者只对 ttt 求导而忘了除以 x′(t)x'(t)x′(t)。

题型 7：反函数的导数#

例 9 设 y=x+exy=x+e^xy=x+ex，x=x(y)x=x(y)x=x(y) 是它的反函数，求 d2xdy2\dfrac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}dy2d2x​ 在 x=0x=0x=0 处的值。

解 y′=1+exy'=1+e^xy′=1+ex，y′′=exy''=e^xy′′=ex。x=0x=0x=0 时 y′=2y'=2y′=2，y′′=1y''=1y′′=1，所以

d2xdy2=−y′′(y′)3=−18.\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}=-\frac{y''}{(y')^3}=\boxed{-\frac18}.dy2d2x​=−(y′)3y′′​=−81​​.

题型 8：高阶导数#

三种方法：

方法适用情况
套公式分式先拆成部分分式；三角函数先降次、积化和差
莱布尼茨公式多项式 × 另一个函数
泰勒展开只求 f(n)(0)f^{(n)}(0)f(n)(0)

例 10 求 y=1x2−3x+2y=\dfrac{1}{x^2-3x+2}y=x2−3x+21​ 的 nnn 阶导数。

解 拆分：1(x−1)(x−2)=1x−2−1x−1\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}(x−1)(x−2)1​=x−21​−x−11​，再套公式：

y(n)=(−1)nn![1(x−2)n+1−1(x−1)n+1].y^{(n)}=(-1)^nn!\left[\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right].y(n)=(−1)nn![(x−2)n+11​−(x−1)n+11​].

例 11 求 y=x2e2xy=x^2e^{2x}y=x2e2x 的 nnn 阶导数。

解 取 u=x2u=x^2u=x2（只有前 3 阶非零），v=e2xv=e^{2x}v=e2x：

y(n)=x2⋅2ne2x+n⋅2x⋅2n−1e2x+n(n−1)2⋅2⋅2n−2e2x=2n−2e2x[4x2+4nx+n(n−1)].\begin{aligned} y^{(n)}&=x^2\cdot2^ne^{2x}+n\cdot2x\cdot2^{n-1}e^{2x}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot2\cdot2^{n-2}e^{2x}\\ &=2^{n-2}e^{2x}\left[4x^2+4nx+n(n-1)\right]. \end{aligned}y(n)​=x2⋅2ne2x+n⋅2x⋅2n−1e2x+2n(n−1)​⋅2⋅2n−2e2x=2n−2e2x[4x2+4nx+n(n−1)].​

例 12 设 f(x)=x2ln⁡(1+x)f(x)=x^2\ln(1+x)f(x)=x2ln(1+x)，求 f(n)(0) (n≥3)f^{(n)}(0)\ (n\ge3)f(n)(0) (n≥3)。

解 泰勒展开中 xnx^nxn 的系数等于 f(n)(0)n!\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}n!f(n)(0)​。

x2ln⁡(1+x)=x2∑k=1∞(−1)k−1xkk=∑k=1∞(−1)k−1xk+2k.x^2\ln(1+x)=x^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}x^{k+2}}{k}.x2ln(1+x)=x2k=1∑∞​k(−1)k−1xk​=k=1∑∞​k(−1)k−1xk+2​.

xnx^nxn 对应 k=n−2k=n-2k=n−2，系数为 (−1)n−3n−2=(−1)n−1n−2\dfrac{(-1)^{n-3}}{n-2}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n-2}n−2(−1)n−3​=n−2(−1)n−1​，所以

f(n)(0)=(−1)n−1 n!n−2.f^{(n)}(0)=\boxed{\frac{(-1)^{n-1}\,n!}{n-2}}.f(n)(0)=n−2(−1)n−1n!​​.
泰勒法的核心

f(n)(0)=n!×(xn 的系数)f^{(n)}(0)=n!\times(x^n\text{ 的系数})f(n)(0)=n!×(xn 的系数) 这比用莱布尼茨公式快得多。

题型 9：切线、法线与相关变化率#

例 13 求曲线 y=ln⁡xy=\ln xy=lnx 过原点的切线方程。

解 注意“过原点”不代表切点是原点。设切点为 (a,ln⁡a)(a,\ln a)(a,lna)，切线为 y−ln⁡a=1a(x−a)y-\ln a=\dfrac1a(x-a)y−lna=a1​(x−a)。

代入原点 (0,0)(0,0)(0,0)：−ln⁡a=−1-\ln a=-1−lna=−1，得 a=ea=ea=e。切线方程为 y=xe\boxed{y=\dfrac xe}y=ex​​。

易错

“在某点处的切线”：这个点就是切点；“过某点的切线”：这个点不一定是切点，要先设切点。

例 14（相关变化率） 球的半径以 2 cm/s2\ \text{cm/s}2 cm/s 的速度增大，求半径为 10 cm10\ \text{cm}10 cm 时体积的增长速度。

解 V=43πr3V=\dfrac43\pi r^3V=34​πr3，两边对时间 ttt 求导：

dVdt=4πr2drdt=4π⋅100⋅2=800π cm3/s.\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=4\pi r^2\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=4\pi\cdot100\cdot2=\boxed{800\pi\ \text{cm}^3/\text{s}}.dtdV​=4πr2dtdr​=4π⋅100⋅2=800π cm3/s​.

套路：先写出变量之间的关系式，再两边对时间求导。

五、证明思路#

1. 可导必连续#

f(x)−f(x0)=f(x)−f(x0)x−x0⋅(x−x0)→f′(x0)⋅0=0.f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)\to f'(x_0)\cdot0=0.f(x)−f(x0​)=x−x0​f(x)−f(x0​)​⋅(x−x0​)→f′(x0​)⋅0=0.

所以 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)x→x0​lim​f(x)=f(x0​)，即连续。

2. 乘积法则#

关键一步是加一项减一项 u(x+h)v(x)u(x+h)v(x)u(x+h)v(x)：

u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)h=u(x+h)v(x+h)−v(x)h+v(x)u(x+h)−u(x)h→uv′+u′v.\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}=u(x+h)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+v(x)\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\to uv'+u'v.hu(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)​=u(x+h)hv(x+h)−v(x)​+v(x)hu(x+h)−u(x)​→uv′+u′v.

这里用到 uuu 可导所以连续，u(x+h)→u(x)u(x+h)\to u(x)u(x+h)→u(x)。

3. 链式法则#

设 u=g(x)u=g(x)u=g(x)，y=f(u)y=f(u)y=f(u)。直观上：

ΔyΔx=ΔyΔu⋅ΔuΔx→f′(u) g′(x).\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\to f'(u)\,g'(x).ΔxΔy​=ΔuΔy​⋅ΔxΔu​→f′(u)g′(x).

严格证明还要处理 Δu=0\Delta u=0Δu=0 的情况，考试不要求。

4. 反函数与参数方程的二阶导#

都是链式法则：

  • 反函数：dxdy=1y′(x)\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\dfrac1{y'(x)}dydx​=y′(x)1​ 是 xxx 的函数，对 yyy 求导要乘 dxdy\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}dydx​： d2xdy2=ddx(1y′)⋅dxdy=−y′′(y′)2⋅1y′=−y′′(y′)3.\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac1{y'}\right)\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=-\frac{y''}{(y')^2}\cdot\frac{1}{y'}=-\frac{y''}{(y')^3}.dy2d2x​=dxd​(y′1​)⋅dydx​=−(y′)2y′′​⋅y′1​=−(y′)3y′′​.
  • 参数方程：dydx\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}dxdy​ 是 ttt 的函数，对 xxx 求导要乘 dtdx=1x′(t)\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\dfrac1{x'(t)}dxdt​=x′(t)1​，所以二阶导是“对 ttt 求导，再除以 x′(t)x'(t)x′(t)”。

5. 绝对值结论 φ(x)∣x−a∣\varphi(x)|x-a|φ(x)∣x−a∣#

lim⁡x→a±φ(x)∣x−a∣−0x−a=±φ(a).\lim_{x\to a^\pm}\frac{\varphi(x)|x-a|-0}{x-a}=\pm\varphi(a).x→a±lim​x−aφ(x)∣x−a∣−0​=±φ(a).

左右导数分别为 −φ(a)-\varphi(a)−φ(a) 和 φ(a)\varphi(a)φ(a)，两者相等当且仅当 φ(a)=0\varphi(a)=0φ(a)=0。

6. 莱布尼茨公式#

对 nnn 用数学归纳法。(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′ 每求一次导，就相当于把“导数次数”分给 uuu 或 vvv，系数的组合规律与 (a+b)n(a+b)^n(a+b)n 展开完全相同，所以系数是 (nk)\dbinom nk(kn​)。

六、易错点#

导函数在一点的极限 ≠ 该点的导数

f(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x,&x\ne0\\0,&x=0\end{cases}f(x)={x2sinx1​,0,​x=0x=0​

用定义：f′(0)=lim⁡x→0xsin⁡1x=0f'(0)=\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac1x=0f′(0)=x→0lim​xsinx1​=0，可导。

但 x≠0x\ne0x=0 时 f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1xf'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1xf′(x)=2xsinx1​−cosx1​，lim⁡x→0f′(x)\lim\limits_{x\to0}f'(x)x→0lim​f′(x) 不存在。

所以：分段点的导数必须用定义求；“可导”不代表“导函数连续”。

  • 判断可导时漏掉“一端固定”：f(x0+h)−f(x0−h)2h\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}2hf(x0​+h)−f(x0​−h)​ 极限存在不能推出可导。
  • 增量只从一侧趋于 000：f(h2)f(h^2)f(h2)、f(1−cos⁡h)f(1-\cos h)f(1−cosh) 只能得到单侧导数。
  • 分段点只检查可导，不检查连续：含参数时要先用连续列方程。
  • 参数方程二阶导忘记除以 x′(t)x'(t)x′(t)。
  • 隐函数忘记乘 y′y'y′：(ey)′=eyy′(e^y)'=e^yy'(ey)′=eyy′，不是 eye^yey。
  • ∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣ 的可导性：若 f(x0)=0f(x_0)=0f(x0​)=0 且 f′(x0)≠0f'(x_0)\ne0f′(x0​)=0，则 ∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣ 在 x0x_0x0​ 不可导。
  • “过某点”的切线当成以该点为切点。

七、小练习#

1. 设曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 满足 lim⁡x→0f(1)−f(1−x)2x=−1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1x→0lim​2xf(1)−f(1−x)​=−1，求曲线在点 (1,f(1))(1,f(1))(1,f(1)) 处的切线斜率。

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f(1)−f(1−x)2x=12⋅f(1−x)−f(1)−x→12f′(1)=−1\dfrac{f(1)-f(1-x)}{2x}=\dfrac12\cdot\dfrac{f(1-x)-f(1)}{-x}\to\dfrac12f'(1)=-12xf(1)−f(1−x)​=21​⋅−xf(1−x)−f(1)​→21​f′(1)=−1，所以斜率 f′(1)=−2f'(1)=-2f′(1)=−2。

2. 设 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 由 y=1+xeyy=1+xe^yy=1+xey 确定，求 y′(0)y'(0)y′(0)。

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x=0x=0x=0 时 y=1y=1y=1。两边求导：y′=ey+xeyy′y'=e^y+xe^yy'y′=ey+xeyy′。代入 x=0, y=1x=0,\ y=1x=0, y=1：y′(0)=ey'(0)=ey′(0)=e。

3. 设 {x=ln⁡(1+t2)y=t−arctan⁡t\begin{cases}x=\ln(1+t^2)\\y=t-\arctan t\end{cases}{x=ln(1+t2)y=t−arctant​，求 dydx\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}dxdy​ 和 d2ydx2\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}dx2d2y​。

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x′(t)=2t1+t2x'(t)=\dfrac{2t}{1+t^2}x′(t)=1+t22t​，y′(t)=1−11+t2=t21+t2y'(t)=1-\dfrac1{1+t^2}=\dfrac{t^2}{1+t^2}y′(t)=1−1+t21​=1+t2t2​，所以 dydx=t2\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac t2dxdy​=2t​。

d2ydx2=122t1+t2=1+t24t\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\dfrac{\frac12}{\frac{2t}{1+t^2}}=\dfrac{1+t^2}{4t}dx2d2y​=1+t22t​21​​=4t1+t2​。

4. 求 y=sin⁡2xy=\sin^2xy=sin2x 的 nnn 阶导数。

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先降次：sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}sin2x=21−cos2x​。所以

y(n)=−12⋅2ncos⁡(2x+nπ2)=−2n−1cos⁡(2x+nπ2).y^{(n)}=-\frac12\cdot2^n\cos\left(2x+\frac{n\pi}2\right)=-2^{n-1}\cos\left(2x+\frac{n\pi}2\right).y(n)=−21​⋅2ncos(2x+2nπ​)=−2n−1cos(2x+2nπ​).

5. 求 f(x)=(x2−1) ∣x2−3x+2∣f(x)=(x^2-1)\,|x^2-3x+2|f(x)=(x2−1)∣x2−3x+2∣ 的不可导点。

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∣x2−3x+2∣=∣x−1∣ ∣x−2∣|x^2-3x+2|=|x-1|\,|x-2|∣x2−3x+2∣=∣x−1∣∣x−2∣，可疑点为 x=1,2x=1,2x=1,2。

  • x=1x=1x=1：φ(x)=(x2−1)∣x−2∣\varphi(x)=(x^2-1)|x-2|φ(x)=(x2−1)∣x−2∣，φ(1)=0\varphi(1)=0φ(1)=0，可导。
  • x=2x=2x=2：φ(x)=(x2−1)∣x−1∣\varphi(x)=(x^2-1)|x-1|φ(x)=(x2−1)∣x−1∣，φ(2)=3≠0\varphi(2)=3\ne0φ(2)=3=0，不可导。

所以只有 x=2x=2x=2 一个不可导点。

八、本章小结#

  • 导数定义三要素：一端固定、另一端从两侧动、分母一致。判断题逐条核对。
  • 分段点用定义求导；含参数先用连续、再用左右导数相等列方程。
  • φ(x)∣x−a∣\varphi(x)|x-a|φ(x)∣x−a∣ 在 aaa 处可导   ⟺  φ(a)=0\iff\varphi(a)=0⟺φ(a)=0。
  • 幂指函数和连乘除用对数求导法；隐函数两边对 xxx 求导，yyy 的函数要乘 y′y'y′。
  • 参数方程二阶导：对 ttt 求导，再除以 x′(t)x'(t)x′(t)。
  • 高阶导数：拆分/降次后套公式，多项式乘积用莱布尼茨，只求 f(n)(0)f^{(n)}(0)f(n)(0) 用泰勒。

下一篇：03 微分中值定理。

]]> https://gsxbxsg.github.io/posts/gaoshu-03-mvt/ 高数速成复习 03：微分中值定理 2026-10-03T00:00:00.000Z 2026-10-03T00:00:00.000Z ELEC 中值定理是数一证明题的主要来源。本篇讲清费马、罗尔、拉格朗日、柯西四个定理，以及构造辅助函数、双中值、多次罗尔等证明题套路。 数一几乎每年都有一道和中值定理相关的证明题。很多人觉得证明题无从下手，其实常考的类型很固定：看结论的形状，选对定理，造对辅助函数。这一章就把这几种套路讲清楚。

一、本章地图#

模块要掌握什么常见考法
四个定理费马、罗尔、拉格朗日、柯西的条件与结论选择题判断条件
构造辅助函数还原法、常用辅助函数表解答题证明 ∃ ξ\exists\,\xi∃ξ
多次罗尔证明高阶导数有零点解答题
双中值证明 ∃ ξ,η\exists\,\xi,\eta∃ξ,η解答题
拉格朗日的应用证明不等式、求极限、证明恒等式解答、填空

拿到证明题，先看结论：

结论中有什么

只有一个 ξ，等式右边为 0

只有一个 ξ，还含 a、b

两个中值 ξ、η

高阶导数 f^(n)(ξ)=0

构造辅助函数 F，用罗尔

a、b 能分离成差商 → 拉格朗日或柯西

ξ、η 无需不同 → 两个定理各用一次

要求不同 → 找分点 c 分两段

多次用罗尔，逐阶找零点

结论中有什么

只有一个 ξ，等式右边为 0

只有一个 ξ，还含 a、b

两个中值 ξ、η

高阶导数 f^(n)(ξ)=0

构造辅助函数 F，用罗尔

a、b 能分离成差商 → 拉格朗日或柯西

ξ、η 无需不同 → 两个定理各用一次

要求不同 → 找分点 c 分两段

多次用罗尔，逐阶找零点

二、核心概念#

1. 费马引理#

若 fff 在 x0x_0x0​ 处可导，且 x0x_0x0​ 是极值点，则 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0。

大白话：光滑曲线在山顶或谷底的切线是水平的。

2. 罗尔定理#

若 fff 满足：

  1. 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续；
  2. 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导；
  3. f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，

则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0。

3. 拉格朗日中值定理#

若 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).

几何意义：曲线上一定有一点的切线平行于连接两端点的弦。

常用的等价写法：令 ξ=a+θ(b−a)\xi=a+\theta(b-a)ξ=a+θ(b−a)，0<θ<10<\theta<10<θ<1，则

f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a).f(b)-f(a)=f'\bigl(a+\theta(b-a)\bigr)(b-a).f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a).

4. 柯西中值定理#

若 f,gf,gf,g 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，且 g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0，则存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(ξ)f′(ξ)​.

取 g(x)=xg(x)=xg(x)=x 就是拉格朗日；拉格朗日中再加 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b) 就是罗尔。所以三者是由特殊到一般的关系：

罗尔⊂拉格朗日⊂柯西.\text{罗尔}\subset\text{拉格朗日}\subset\text{柯西}.罗尔⊂拉格朗日⊂柯西.

5. 两个推论#

  • 若在区间 III 上 f′(x)≡0f'(x)\equiv0f′(x)≡0，则 fff 在 III 上是常数。
  • 若在区间 III 上 f′(x)≡g′(x)f'(x)\equiv g'(x)f′(x)≡g′(x)，则 f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C。

6. 零点个数的结论#

  • 若 fff 有 nnn 个不同零点，则 f′f'f′ 至少有 n−1n-1n−1 个零点（相邻零点之间用罗尔）。
  • 反过来，若 f(n)(x)≠0f^{(n)}(x)\ne0f(n)(x)=0，则 fff 至多有 nnn 个零点。

三、必背公式#

三个定理的结论

罗尔：f′(ξ)=0拉格朗日：f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)柯西：f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\text{罗尔：}f'(\xi)=0\qquad\text{拉格朗日：}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\qquad\text{柯西：}\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}罗尔：f′(ξ)=0拉格朗日：b−af(b)−f(a)​=f′(ξ)柯西：g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(ξ)f′(ξ)​ 条件统一记为：闭区间连续，开区间可导。罗尔再加端点值相等，柯西再加 g′≠0g'\ne0g′=0。

常用辅助函数表
要证的结论辅助函数 F(x)F(x)F(x)
f′(ξ)+λf(ξ)=0f'(\xi)+\lambda f(\xi)=0f′(ξ)+λf(ξ)=0eλxf(x)e^{\lambda x}f(x)eλxf(x)
f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0f'(\xi)+g'(\xi)f(\xi)=0f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0eg(x)f(x)e^{g(x)}f(x)eg(x)f(x)
ξf′(ξ)+kf(ξ)=0\xi f'(\xi)+kf(\xi)=0ξf′(ξ)+kf(ξ)=0xkf(x)x^kf(x)xkf(x)
f′(ξ)g(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi)=0f′(ξ)g(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
f′(ξ)g(ξ)−f(ξ)g′(ξ)=0f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)=0f′(ξ)g(ξ)−f(ξ)g′(ξ)=0f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​
f′(ξ)=kf'(\xi)=kf′(ξ)=kf(x)−kxf(x)-kxf(x)−kx
多项式方程 p(ξ)=0p(\xi)=0p(ξ)=0 有根ppp 的一个原函数

最常用的是前三行，它们本质是同一件事：乘一个因子，让左边变成某个函数的导数。

四、题型与解题套路#

题型 1：直接用罗尔，证明 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0#

解法：找两个函数值相等的点。如果题目没直接给，常用介值定理或积分中值定理先造出一个点。

例 1 设 fff 在 [0,3][0,3][0,3] 上连续，在 (0,3)(0,3)(0,3) 内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3f(0)+f(1)+f(2)=3f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1f(3)=1f(3)=1。证明存在 ξ∈(0,3)\xi\in(0,3)ξ∈(0,3)，使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0。

证 已有 f(3)=1f(3)=1f(3)=1，只需在 [0,2][0,2][0,2] 上再找一个点 ccc 使 f(c)=1f(c)=1f(c)=1。

fff 在 [0,2][0,2][0,2] 上连续，有最大值 MMM 和最小值 mmm，于是

m≤f(0)+f(1)+f(2)3=1≤M.m\le\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3}=1\le M.m≤3f(0)+f(1)+f(2)​=1≤M.

由介值定理，存在 c∈[0,2]c\in[0,2]c∈[0,2] 使 f(c)=1=f(3)f(c)=1=f(3)f(c)=1=f(3)。在 [c,3][c,3][c,3] 上用罗尔，存在 ξ∈(c,3)⊂(0,3)\xi\in(c,3)\subset(0,3)ξ∈(c,3)⊂(0,3)，使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0。

平均值套路

看到“几个函数值之和等于某个数”，就用最值 + 介值定理：平均值一定夹在最小值和最大值之间。

题型 2：构造辅助函数（还原法）#

识别特征：结论是“存在 ξ\xiξ，使含 f(ξ)f(\xi)f(ξ)、f′(ξ)f'(\xi)f′(ξ) 的式子等于 000”。

解法步骤（还原法）：

  1. 把 ξ\xiξ 换成 xxx，得到一个关于 f,f′f,f'f,f′ 的等式；
  2. 把它看成微分方程，解出来写成 F(x)=CF(x)=CF(x)=C 的形式，这个 FFF 就是辅助函数；
  3. 验证 FFF 在区间两端的值相等，用罗尔。

例 2 设 fff 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续，在 (0,1)(0,1)(0,1) 内可导，且 f(1)=0f(1)=0f(1)=0。证明存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1)，使

ξf′(ξ)+2f(ξ)=0.\xi f'(\xi)+2f(\xi)=0.ξf′(ξ)+2f(ξ)=0.

分析 还原：xf′(x)+2f(x)=0xf'(x)+2f(x)=0xf′(x)+2f(x)=0。两边乘 xxx 得 x2f′(x)+2xf(x)=0x^2f'(x)+2xf(x)=0x2f′(x)+2xf(x)=0，即 (x2f(x))′=0\bigl(x^2f(x)\bigr)'=0(x2f(x))′=0。所以取 F(x)=x2f(x)F(x)=x^2f(x)F(x)=x2f(x)。

证 令 F(x)=x2f(x)F(x)=x^2f(x)F(x)=x2f(x)，则 F(0)=0F(0)=0F(0)=0，F(1)=f(1)=0F(1)=f(1)=0F(1)=f(1)=0。由罗尔，存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1)，使

F′(ξ)=2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf′(ξ)]=0.F'(\xi)=2\xi f(\xi)+\xi^2f'(\xi)=\xi\bigl[2f(\xi)+\xi f'(\xi)\bigr]=0.F′(ξ)=2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf′(ξ)]=0.

因为 ξ≠0\xi\ne0ξ=0，所以 ξf′(ξ)+2f(ξ)=0\xi f'(\xi)+2f(\xi)=0ξf′(ξ)+2f(ξ)=0。

例 3 设 fff 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续，在 (0,1)(0,1)(0,1) 内可导，f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0，f(12)=1f\left(\frac12\right)=1f(21​)=1。证明：

  1. 存在 η∈(12,1)\eta\in\left(\frac12,1\right)η∈(21​,1)，使 f(η)=ηf(\eta)=\etaf(η)=η；
  2. 对任意实数 λ\lambdaλ，存在 ξ∈(0,η)\xi\in(0,\eta)ξ∈(0,η)，使 f′(ξ)−λ[f(ξ)−ξ]=1f'(\xi)-\lambda\bigl[f(\xi)-\xi\bigr]=1f′(ξ)−λ[f(ξ)−ξ]=1。

证 (1) 令 φ(x)=f(x)−x\varphi(x)=f(x)-xφ(x)=f(x)−x。φ(12)=12>0\varphi\left(\frac12\right)=\frac12>0φ(21​)=21​>0，φ(1)=−1<0\varphi(1)=-1<0φ(1)=−1<0，由零点定理，存在 η∈(12,1)\eta\in\left(\frac12,1\right)η∈(21​,1) 使 φ(η)=0\varphi(\eta)=0φ(η)=0，即 f(η)=ηf(\eta)=\etaf(η)=η。

(2) 把结论改写为 [f′(ξ)−1]−λ[f(ξ)−ξ]=0\bigl[f'(\xi)-1\bigr]-\lambda\bigl[f(\xi)-\xi\bigr]=0[f′(ξ)−1]−λ[f(ξ)−ξ]=0，即 φ′(ξ)−λφ(ξ)=0\varphi'(\xi)-\lambda\varphi(\xi)=0φ′(ξ)−λφ(ξ)=0。

这是辅助函数表第一行（λ\lambdaλ 换成 −λ-\lambda−λ），取 F(x)=e−λxφ(x)=e−λx[f(x)−x]F(x)=e^{-\lambda x}\varphi(x)=e^{-\lambda x}\bigl[f(x)-x\bigr]F(x)=e−λxφ(x)=e−λx[f(x)−x]。

F(0)=0F(0)=0F(0)=0，F(η)=e−ληφ(η)=0F(\eta)=e^{-\lambda\eta}\varphi(\eta)=0F(η)=e−ληφ(η)=0。由罗尔，存在 ξ∈(0,η)\xi\in(0,\eta)ξ∈(0,η)，使

F′(ξ)=e−λξ[φ′(ξ)−λφ(ξ)]=0.F'(\xi)=e^{-\lambda\xi}\bigl[\varphi'(\xi)-\lambda\varphi(\xi)\bigr]=0.F′(ξ)=e−λξ[φ′(ξ)−λφ(ξ)]=0.

e−λξ≠0e^{-\lambda\xi}\ne0e−λξ=0，所以 f′(ξ)−1−λ[f(ξ)−ξ]=0f'(\xi)-1-\lambda\bigl[f(\xi)-\xi\bigr]=0f′(ξ)−1−λ[f(ξ)−ξ]=0，得证。

第 (1) 问通常是第 (2) 问的铺垫

第 (1) 问找到的 η\etaη，往往就是第 (2) 问罗尔定理要用的一个端点。

题型 3：多项式方程有根（原函数法）#

识别特征：证明某个方程在区间内有根，直接用零点定理找不到异号的点。

解法：把方程左边看成某个函数的导数，取原函数作辅助函数，用罗尔。

例 4 设 a+b+c=0a+b+c=0a+b+c=0。证明方程 3ax2+2bx+c=03ax^2+2bx+c=03ax2+2bx+c=0 在 (0,1)(0,1)(0,1) 内至少有一个根。

证 3ax2+2bx+c3ax^2+2bx+c3ax2+2bx+c 的一个原函数是 F(x)=ax3+bx2+cxF(x)=ax^3+bx^2+cxF(x)=ax3+bx2+cx。

F(0)=0F(0)=0F(0)=0，F(1)=a+b+c=0F(1)=a+b+c=0F(1)=a+b+c=0。由罗尔，存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1)，使 F′(ξ)=3aξ2+2bξ+c=0F'(\xi)=3a\xi^2+2b\xi+c=0F′(ξ)=3aξ2+2bξ+c=0。

题型 4：多次用罗尔，证明高阶导数有零点#

解法：先找 fff 的零点（或相等的函数值），用罗尔得到 f′f'f′ 的零点，再对 f′f'f′ 用罗尔，逐阶往上推。

例 5 设 fff 在 [0,3][0,3][0,3] 上二阶可导，且 f(0)=f(1)=f(3)=0f(0)=f(1)=f(3)=0f(0)=f(1)=f(3)=0。证明存在 ξ∈(0,3)\xi\in(0,3)ξ∈(0,3)，使 f′′(ξ)=0f''(\xi)=0f′′(ξ)=0。

证 在 [0,1][0,1][0,1] 和 [1,3][1,3][1,3] 上分别用罗尔，得 ξ1∈(0,1)\xi_1\in(0,1)ξ1​∈(0,1)，ξ2∈(1,3)\xi_2\in(1,3)ξ2​∈(1,3)，使 f′(ξ1)=f′(ξ2)=0f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0f′(ξ1​)=f′(ξ2​)=0。

再对 f′f'f′ 在 [ξ1,ξ2][\xi_1,\xi_2][ξ1​,ξ2​] 上用罗尔，得 ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(0,3)\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,3)ξ∈(ξ1​,ξ2​)⊂(0,3)，使 f′′(ξ)=0f''(\xi)=0f′′(ξ)=0。

例 6 求 f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) 的导函数 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 的实根个数。

解 fff 有 4 个零点 0,1,2,30,1,2,30,1,2,3。在 [0,1][0,1][0,1]、[1,2][1,2][1,2]、[2,3][2,3][2,3] 上分别用罗尔，f′f'f′ 至少有 3 个根。

又 f′f'f′ 是三次多项式，至多 3 个根。所以 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 恰有 3\boxed33​ 个实根。

题型 5：结论中含 a,ba,ba,b（拉格朗日或柯西）#

识别特征：结论里只有一个 ξ\xiξ，但同时出现 f(a)f(a)f(a)、f(b)f(b)f(b) 或 a,ba,ba,b。

解法：

  1. 把含 ξ\xiξ 的部分移到一边，含 a,ba,ba,b 的部分移到另一边；
  2. 若 a,ba,ba,b 一边能写成 f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}b−af(b)−f(a)​，用拉格朗日；
  3. 若能写成 f(b)−f(a)g(b)−g(a)\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)​，用柯西，关键是认出 ggg。

例 7 设 0<a<b0<a<b0<a<b，fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导。证明存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(b)−f(a)=ξf′(ξ)ln⁡ba.f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\frac ba.f(b)−f(a)=ξf′(ξ)lnab​.

分析 分离：f(b)−f(a)ln⁡b−ln⁡a=ξf′(ξ)=f′(ξ)1/ξ\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\xi f'(\xi)=\dfrac{f'(\xi)}{1/\xi}lnb−lnaf(b)−f(a)​=ξf′(ξ)=1/ξf′(ξ)​。右边正是 f′f'f′ 除以 (ln⁡x)′(\ln x)'(lnx)′，所以 g(x)=ln⁡xg(x)=\ln xg(x)=lnx。

证 取 g(x)=ln⁡xg(x)=\ln xg(x)=lnx，在 [a,b][a,b][a,b] 上 g′(x)=1x≠0g'(x)=\frac1x\ne0g′(x)=x1​=0。由柯西中值定理，存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使

f(b)−f(a)ln⁡b−ln⁡a=f′(ξ)1/ξ=ξf′(ξ),\frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f'(\xi)}{1/\xi}=\xi f'(\xi),lnb−lnaf(b)−f(a)​=1/ξf′(ξ)​=ξf′(ξ),

整理即得结论。

题型 6：双中值问题#

情况一：ξ,η\xi,\etaξ,η 不要求不同。 一般是对同一个区间用两次中值定理（常见组合：拉格朗日 + 柯西），然后把两个式子中相同的部分消掉。

例 8 设 0<a<b0<a<b0<a<b，fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导。证明存在 ξ,η∈(a,b)\xi,\eta\in(a,b)ξ,η∈(a,b)，使

f′(ξ)=a+b2ηf′(η).f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta).f′(ξ)=2ηa+b​f′(η).

证 右边有 f′(η)2η\dfrac{f'(\eta)}{2\eta}2ηf′(η)​，这是 f′f'f′ 除以 (x2)′(x^2)'(x2)′，对 fff 和 g(x)=x2g(x)=x^2g(x)=x2 用柯西：

f(b)−f(a)b2−a2=f′(η)2η.\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\frac{f'(\eta)}{2\eta}.b2−a2f(b)−f(a)​=2ηf′(η)​.

再对 fff 用拉格朗日：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)。代入上式：

f′(ξ)(b−a)(b−a)(b+a)=f′(η)2η ⟹ f′(ξ)=a+b2ηf′(η).\frac{f'(\xi)(b-a)}{(b-a)(b+a)}=\frac{f'(\eta)}{2\eta}\ \Longrightarrow\ f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta).(b−a)(b+a)f′(ξ)(b−a)​=2ηf′(η)​ ⟹ f′(ξ)=2ηa+b​f′(η).

情况二：要求 ξ≠η\xi\ne\etaξ=η。 这时必须找一个分点 ccc，在 [a,c][a,c][a,c] 和 [c,b][c,b][c,b] 上各用一次拉格朗日，两个中值自然落在不同区间。

例 9 设 fff 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续，在 (0,1)(0,1)(0,1) 内可导，f(0)=0f(0)=0f(0)=0，f(1)=1f(1)=1f(1)=1。证明：

  1. 存在 c∈(0,1)c\in(0,1)c∈(0,1)，使 f(c)=1−cf(c)=1-cf(c)=1−c；
  2. 存在两个不同的点 ξ,η∈(0,1)\xi,\eta\in(0,1)ξ,η∈(0,1)，使 f′(ξ)f′(η)=1f'(\xi)f'(\eta)=1f′(ξ)f′(η)=1。

证 (1) 令 φ(x)=f(x)−1+x\varphi(x)=f(x)-1+xφ(x)=f(x)−1+x，φ(0)=−1<0\varphi(0)=-1<0φ(0)=−1<0，φ(1)=1>0\varphi(1)=1>0φ(1)=1>0，由零点定理得 ccc。

(2) 在 [0,c][0,c][0,c] 和 [c,1][c,1][c,1] 上分别用拉格朗日：

f′(ξ)=f(c)−f(0)c=1−cc,f′(η)=f(1)−f(c)1−c=c1−c.f'(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}{c}=\frac{1-c}{c},\qquad f'(\eta)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{c}{1-c}.f′(ξ)=cf(c)−f(0)​=c1−c​,f′(η)=1−cf(1)−f(c)​=1−cc​.

其中 ξ∈(0,c)\xi\in(0,c)ξ∈(0,c)，η∈(c,1)\eta\in(c,1)η∈(c,1)，所以 ξ≠η\xi\ne\etaξ=η，且 f′(ξ)f′(η)=1f'(\xi)f'(\eta)=1f′(ξ)f′(η)=1。

分点 ccc 怎么找

先写出 f′(ξ)f′(η)=f(c)c⋅1−f(c)1−cf'(\xi)f'(\eta)=\dfrac{f(c)}{c}\cdot\dfrac{1-f(c)}{1-c}f′(ξ)f′(η)=cf(c)​⋅1−c1−f(c)​，看要让它等于 111，f(c)f(c)f(c) 应该取什么值。这里 f(c)=1−cf(c)=1-cf(c)=1−c 正好使分子分母约掉。题目第 (1) 问往往直接把分点给你了。

题型 7：用拉格朗日证明不等式#

识别特征：不等式中出现 f(b)−f(a)f(b)-f(a)f(b)−f(a) 的形式，或者能整理成这种形式。

解法：用拉格朗日把差变成 f′(ξ)(b−a)f'(\xi)(b-a)f′(ξ)(b−a)，再利用 a<ξ<ba<\xi<ba<ξ<b 对 f′(ξ)f'(\xi)f′(ξ) 放缩。

例 10 设 0<a<b0<a<b0<a<b，证明

b−ab<ln⁡ba<b−aa.\frac{b-a}{b}<\ln\frac ba<\frac{b-a}{a}.bb−a​<lnab​<ab−a​.

证 对 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx 在 [a,b][a,b][a,b] 上用拉格朗日：

ln⁡b−ln⁡a=1ξ(b−a),a<ξ<b.\ln b-\ln a=\frac{1}{\xi}(b-a),\qquad a<\xi<b.lnb−lna=ξ1​(b−a),a<ξ<b.

由 1b<1ξ<1a\dfrac1b<\dfrac1\xi<\dfrac1ab1​<ξ1​<a1​，各乘 b−a>0b-a>0b−a>0 即得结论。

题型 8：用拉格朗日求极限#

识别特征：极限中出现同一个函数在两点处的差，如 f(□1)−f(□2)f(\square_1)-f(\square_2)f(□1​)−f(□2​)。

例 11 求 lim⁡x→+∞x2[arctan⁡ax−arctan⁡ax+1]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left[\arctan\frac{a}{x}-\arctan\frac{a}{x+1}\right]x→+∞lim​x2[arctanxa​−arctanx+1a​]（a≠0a\ne0a=0）。

解 对 arctan⁡t\arctan tarctant 在 ax+1\frac{a}{x+1}x+1a​ 与 ax\frac axxa​ 之间用拉格朗日：

arctan⁡ax−arctan⁡ax+1=11+ξ2(ax−ax+1)=11+ξ2⋅ax(x+1),\arctan\frac ax-\arctan\frac a{x+1}=\frac{1}{1+\xi^2}\left(\frac ax-\frac a{x+1}\right)=\frac{1}{1+\xi^2}\cdot\frac{a}{x(x+1)},arctanxa​−arctanx+1a​=1+ξ21​(xa​−x+1a​)=1+ξ21​⋅x(x+1)a​,

ξ\xiξ 夹在两个都趋于 000 的数之间，所以 ξ→0\xi\to0ξ→0。于是

原式=lim⁡x→+∞11+ξ2⋅ax2x(x+1)=a.\text{原式}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\xi^2}\cdot\frac{ax^2}{x(x+1)}=\boxed a.原式=x→+∞lim​1+ξ21​⋅x(x+1)ax2​=a​.

题型 9：证明恒等式#

解法：令 F(x)=F(x)=F(x)= 左边 −-− 右边，证明 F′(x)≡0F'(x)\equiv0F′(x)≡0，再代一个特殊点求出常数。

例 12 证明 arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2arcsinx+arccosx=2π​，x∈[−1,1]x\in[-1,1]x∈[−1,1]。

证 令 F(x)=arcsin⁡x+arccos⁡xF(x)=\arcsin x+\arccos xF(x)=arcsinx+arccosx。在 (−1,1)(-1,1)(−1,1) 内

F′(x)=11−x2−11−x2=0,F'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0,F′(x)=1−x2​1​−1−x2​1​=0,

所以 F(x)≡CF(x)\equiv CF(x)≡C。取 x=0x=0x=0 得 C=π2C=\dfrac\pi2C=2π​。端点 x=±1x=\pm1x=±1 直接代入验证也成立。

五、证明思路#

1. 费马引理#

设 x0x_0x0​ 是极大值点，在 x0x_0x0​ 附近 f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0)f(x)≤f(x0​)，所以

f(x)−f(x0)x−x0{≥0,x<x0≤0,x>x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\begin{cases}\ge0,&x<x_0\\\le0,&x>x_0\end{cases}x−x0​f(x)−f(x0​)​{≥0,≤0,​x<x0​x>x0​​

由极限的保号性，f−′(x0)≥0f'_-(x_0)\ge0f−′​(x0​)≥0，f+′(x0)≤0f'_+(x_0)\le0f+′​(x0​)≤0。又因为可导，两者相等，只能等于 000。

2. 罗尔定理#

fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，必有最大值 MMM 和最小值 mmm。

  • 若 M=mM=mM=m，fff 是常数，任取 ξ\xiξ 都有 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0。
  • 若 M>mM>mM>m，由于 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)，MMM 和 mmm 至少有一个在区间内部取到，该点是极值点，由费马引理导数为 000。

3. 拉格朗日：从 fff 中减去弦#

弦的方程是 L(x)=f(a)+f(b)−f(a)b−a(x−a)L(x)=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)L(x)=f(a)+b−af(b)−f(a)​(x−a)。令 F(x)=f(x)−L(x)F(x)=f(x)-L(x)F(x)=f(x)−L(x)，则 F(a)=F(b)=0F(a)=F(b)=0F(a)=F(b)=0。由罗尔，存在 ξ\xiξ 使

F′(ξ)=f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0.F'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.F′(ξ)=f′(ξ)−b−af(b)−f(a)​=0.

直观上，就是把图像“扳平”，使两端等高，再用罗尔。

4. 柯西：同样的思路#

令 F(x)=f(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)g(x)F(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)F(x)=f(x)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)​g(x)，可以验证 F(a)=F(b)F(a)=F(b)F(a)=F(b)，用罗尔即得。

不能用两次拉格朗日证明柯西

分别对 fff、ggg 用拉格朗日，得到的是 f′(ξ1)g′(ξ2)\dfrac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}g′(ξ2​)f′(ξ1​)​，两个中值一般不相同，推不出柯西。

5. 还原法为什么有效#

以 f′(x)+λf(x)=0f'(x)+\lambda f(x)=0f′(x)+λf(x)=0 为例，把它当作微分方程来解：

f′f=−λ ⟹ ln⁡∣f∣=−λx+C ⟹ eλxf(x)=C.\frac{f'}{f}=-\lambda\ \Longrightarrow\ \ln|f|=-\lambda x+C\ \Longrightarrow\ e^{\lambda x}f(x)=C.ff′​=−λ ⟹ ln∣f∣=−λx+C ⟹ eλxf(x)=C.

这说明 (eλxf(x))′=eλx[f′(x)+λf(x)]\bigl(e^{\lambda x}f(x)\bigr)'=e^{\lambda x}\bigl[f'(x)+\lambda f(x)\bigr](eλxf(x))′=eλx[f′(x)+λf(x)]，正好包含要证的式子。乘上的 eλxe^{\lambda x}eλx 恒不为 000，所以 F′(ξ)=0F'(\xi)=0F′(ξ)=0 就等价于结论成立。xkf(x)x^kf(x)xkf(x) 也是同样的道理。

六、易错点#

中值 ξ\xiξ 依赖于区间

拉格朗日中的 ξ\xiξ 随 a,ba,ba,b（或 xxx）变化而变化，不是常数。求极限时只能用夹逼说明 ξ\xiξ 的去向，例如 ξ\xiξ 夹在两个趋于 000 的量之间，所以 ξ→0\xi\to0ξ→0。不能把 ξ\xiξ 当作常数提出去，也不能对它随意求导。

  • 条件不全：三个定理都要求“闭区间连续、开区间可导”，选择题常把其中一个去掉。例如 f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣ 在 [−1,1][-1,1][−1,1] 上 f(−1)=f(1)f(-1)=f(1)f(−1)=f(1)，但 x=0x=0x=0 不可导，不存在 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0。
  • ξ\xiξ 的范围：结论中 ξ\xiξ 在开区间内，写证明时不要写成闭区间。
  • 罗尔定理的逆命题不成立：f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0 不能推出 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b)。
  • 导数为 000 不一定是极值点：f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 在 x=0x=0x=0 处导数为 000，但不是极值点。费马引理只说“极值点处导数为 000”。
  • 双中值要求不同时只用一个区间：两个中值可能重合，必须分段。
  • 构造辅助函数后忘了说明因子不为 000：例如例 2 要说明 ξ≠0\xi\ne0ξ=0，例 3 要说明 e−λξ≠0e^{-\lambda\xi}\ne0e−λξ=0。

七、小练习#

1. 证明对任意实数 a,ba,ba,b，∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣|\sin a-\sin b|\le|a-b|∣sina−sinb∣≤∣a−b∣。

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a=ba=ba=b 时显然成立。a≠ba\ne ba=b 时，对 sin⁡x\sin xsinx 用拉格朗日：sin⁡a−sin⁡b=cos⁡ξ (a−b)\sin a-\sin b=\cos\xi\,(a-b)sina−sinb=cosξ(a−b)。由 ∣cos⁡ξ∣≤1|\cos\xi|\le1∣cosξ∣≤1 得 ∣sin⁡a−sin⁡b∣≤∣a−b∣|\sin a-\sin b|\le|a-b|∣sina−sinb∣≤∣a−b∣。

2. 设 fff 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续，在 (0,1)(0,1)(0,1) 内可导，f(1)=0f(1)=0f(1)=0。证明存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1)，使 f′(ξ)=−f(ξ)ξf'(\xi)=-\dfrac{f(\xi)}{\xi}f′(ξ)=−ξf(ξ)​。

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结论即 ξf′(ξ)+f(ξ)=0\xi f'(\xi)+f(\xi)=0ξf′(ξ)+f(ξ)=0，对应辅助函数表中 k=1k=1k=1 的情况。令 F(x)=xf(x)F(x)=xf(x)F(x)=xf(x)，F(0)=0F(0)=0F(0)=0，F(1)=f(1)=0F(1)=f(1)=0F(1)=f(1)=0。由罗尔，存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1) 使 F′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0F'(\xi)=f(\xi)+\xi f'(\xi)=0F′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0。

3. 设 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0。证明存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使 f′(ξ)=f(ξ)f'(\xi)=f(\xi)f′(ξ)=f(ξ)。

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结论即 f′(ξ)−f(ξ)=0f'(\xi)-f(\xi)=0f′(ξ)−f(ξ)=0，对应 λ=−1\lambda=-1λ=−1，令 F(x)=e−xf(x)F(x)=e^{-x}f(x)F(x)=e−xf(x)。F(a)=F(b)=0F(a)=F(b)=0F(a)=F(b)=0，由罗尔，存在 ξ\xiξ 使

F′(ξ)=e−ξ[f′(ξ)−f(ξ)]=0.F'(\xi)=e^{-\xi}\bigl[f'(\xi)-f(\xi)\bigr]=0.F′(ξ)=e−ξ[f′(ξ)−f(ξ)]=0.

e−ξ≠0e^{-\xi}\ne0e−ξ=0，所以 f′(ξ)=f(ξ)f'(\xi)=f(\xi)f′(ξ)=f(ξ)。

4. 设 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上二阶可导，f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0，且存在 c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b) 使 f(c)>0f(c)>0f(c)>0。证明存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使 f′′(ξ)<0f''(\xi)<0f′′(ξ)<0。

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在 [a,c][a,c][a,c] 和 [c,b][c,b][c,b] 上分别用拉格朗日：

f′(ξ1)=f(c)−f(a)c−a>0,f′(ξ2)=f(b)−f(c)b−c<0,f'(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0,\qquad f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}<0,f′(ξ1​)=c−af(c)−f(a)​>0,f′(ξ2​)=b−cf(b)−f(c)​<0,

其中 a<ξ1<c<ξ2<ba<\xi_1<c<\xi_2<ba<ξ1​<c<ξ2​<b。再对 f′f'f′ 在 [ξ1,ξ2][\xi_1,\xi_2][ξ1​,ξ2​] 上用拉格朗日：

f′′(ξ)=f′(ξ2)−f′(ξ1)ξ2−ξ1<0.f''(\xi)=\frac{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}{\xi_2-\xi_1}<0.f′′(ξ)=ξ2​−ξ1​f′(ξ2​)−f′(ξ1​)​<0.

5. 设 a>0a>0a>0，证明方程 x3+ax−1=0x^3+ax-1=0x3+ax−1=0 在 (0,1)(0,1)(0,1) 内恰有一个实根。

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存在：令 f(x)=x3+ax−1f(x)=x^3+ax-1f(x)=x3+ax−1，f(0)=−1<0f(0)=-1<0f(0)=−1<0，f(1)=a>0f(1)=a>0f(1)=a>0，由零点定理至少有一个根。

唯一：若有两个根 x1<x2x_1<x_2x1​<x2​，则 f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0f(x1​)=f(x2​)=0，由罗尔存在 ξ\xiξ 使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0f′(ξ)=0。但 f′(x)=3x2+a>0f'(x)=3x^2+a>0f′(x)=3x2+a>0，矛盾。所以恰有一个实根。

八、本章小结#

  • 三个定理的条件都是闭区间连续、开区间可导；罗尔 ⊂ 拉格朗日 ⊂ 柯西。
  • 结论只有 ξ\xiξ 且等于 000：用还原法造辅助函数，再用罗尔。最常用 eλxf(x)e^{\lambda x}f(x)eλxf(x) 和 xkf(x)x^kf(x)xkf(x)。
  • 结论含 a,ba,ba,b：分离后认出差商，用拉格朗日；认出 f′g′\dfrac{f'}{g'}g′f′​，用柯西。
  • 双中值：不要求不同，同一区间用两次定理；要求不同，找分点分两段。
  • 高阶导数有零点：多次罗尔，逐阶找零点。
  • 拉格朗日还能证明不等式（对 f′(ξ)f'(\xi)f′(ξ) 放缩）、求极限（处理同一函数在两点的差）。

下一篇：04 导数的应用（洛必达、泰勒公式、单调性与极值、凹凸性、渐近线、不等式证明）。

]]> https://gsxbxsg.github.io/posts/gaoshu-04-applications/ 高数速成复习 04：导数的应用 2026-10-03T00:00:00.000Z 2026-10-03T00:00:00.000Z ELEC 导数的应用覆盖面最广。本篇讲洛必达法则、泰勒公式、单调性与极值、凹凸性与拐点、渐近线、曲率，以及不等式证明和方程根的个数这两类大题。 上一篇的中值定理是“工具”，这一篇是用这些工具研究函数：函数在哪里增减、哪里取极值、图像怎么弯、往远处怎么走。最后落到两类常考大题：证明不等式和讨论方程根的个数。

一、本章地图#

模块要掌握什么常见考法
洛必达法则条件、与等价替换配合求极限
泰勒公式佩亚诺余项、拉格朗日余项求极限、证明题
单调性与极值单调区间、极值的三种判别法选择、填空、解答
最值闭区间最值、唯一驻点填空、应用题
凹凸性与拐点二阶导数判别选择、填空
渐近线水平、铅直、斜渐近线选择题数条数
曲率曲率公式、曲率半径填空（数一）
不等式与根的个数构造函数、研究单调性和最值解答题

证明不等式选方法：

要证的不等式

含变量 x 的函数不等式

两个常数比大小，如 e^π 与 π^e

含 f''，或已知高阶导数信息

移项作 F(x)，看 F 在端点的值

用单调性或最值

把其中一个数换成变量 x

转成函数的单调性

泰勒公式（拉格朗日余项）

或凹凸性

要证的不等式

含变量 x 的函数不等式

两个常数比大小，如 e^π 与 π^e

含 f''，或已知高阶导数信息

移项作 F(x)，看 F 在端点的值

用单调性或最值

把其中一个数换成变量 x

转成函数的单调性

泰勒公式（拉格朗日余项）

或凹凸性

二、核心概念#

1. 洛必达法则#

若 x→x0x\to x_0x→x0​（或 x→∞x\to\inftyx→∞）时：

  1. f(x)f(x)f(x) 与 g(x)g(x)g(x) 同时趋于 000，或同时趋于 ∞\infty∞；
  2. f,gf,gf,g 在 x0x_0x0​ 的去心邻域内可导，且 g′(x)≠0g'(x)\ne0g′(x)=0；
  3. lim⁡f′(x)g′(x)\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}limg′(x)f′(x)​ 存在，或为 ∞\infty∞，

则

lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x).\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.limg(x)f(x)​=limg′(x)f′(x)​.
用洛必达前先做两件事
  1. 先化简：能代入的非零因子先代入，能等价替换的先替换。
  2. 每求一次导都要重新判断类型：不再是 0/0 或 ∞/∞ 就停下。

2. 泰勒公式#

设 fff 在 x0x_0x0​ 附近有足够阶的导数，则

f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x).f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x).f(x)=k=0∑n​k!f(k)(x0​)​(x−x0​)k+Rn​(x).

余项有两种写法：

余项形式条件用途
佩亚诺余项Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)Rn​(x)=o((x−x0​)n)fff 在 x0x_0x0​ 处 nnn 阶可导局部：求极限、判断阶、判断极值
拉格朗日余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1，ξ\xiξ 在 x0x_0x0​ 与 xxx 之间fff 有 n+1n+1n+1 阶导数整体：证明不等式、估计误差

x0=0x_0=0x0​=0 时称为麦克劳林公式，第 01 篇的常用展开式就是它。

大白话：泰勒公式就是用多项式去逼近函数。n=0n=0n=0 时的拉格朗日余项形式就是拉格朗日中值定理。

3. 单调性#

在区间 III 内，f′(x)>0⇒ff'(x)>0\Rightarrow ff′(x)>0⇒f 单调增；f′(x)<0⇒ff'(x)<0\Rightarrow ff′(x)<0⇒f 单调减。

个别点处 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 不影响单调性。例如 x3x^3x3 在 x=0x=0x=0 处导数为 000，但它在整个实数轴上单调增。

4. 极值#

若在 x0x_0x0​ 的某个去心邻域内 f(x)<f(x0)f(x)<f(x_0)f(x)<f(x0​)，称 f(x0)f(x_0)f(x0​) 为极大值；反之为极小值。极值是局部概念。

极值点只可能出现在两类点：

  • 驻点：f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0；
  • 不可导点。

判断这些候选点是不是极值点，有三种方法：

方法条件结论
第一充分条件f′f'f′ 在 x0x_0x0​ 两侧变号左正右负为极大，左负右正为极小
第二充分条件f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0，f′′(x0)≠0f''(x_0)\ne0f′′(x0​)=0f′′(x0)<0f''(x_0)<0f′′(x0​)<0 极大，f′′(x0)>0f''(x_0)>0f′′(x0​)>0 极小
高阶判别法f′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0f′(x0​)=⋯=f(n−1)(x0​)=0，f(n)(x0)≠0f^{(n)}(x_0)\ne0f(n)(x0​)=0nnn 为偶数时是极值点（f(n)>0f^{(n)}>0f(n)>0 极小）；nnn 为奇数时不是

例如 x4x^4x4 在 x=0x=0x=0 处：前三阶导数为 000，f(4)(0)=24>0f^{(4)}(0)=24>0f(4)(0)=24>0，n=4n=4n=4 为偶数，是极小值点。x3x^3x3 在 x=0x=0x=0 处：n=3n=3n=3 为奇数，不是极值点。

5. 凹凸性与拐点#

关于“凹”和“凸”

本系列采用同济版教材和考研的叫法：f′′>0f''>0f′′>0 时曲线是凹的（像碗口朝上），f′′<0f''<0f′′<0 时曲线是凸的。有些教材叫法正好相反，做题时以题目定义为准。

  • 凹：对区间内任意 x1≠x2x_1\ne x_2x1​=x2​，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)+f(x2​)​，即弦在曲线上方。
  • 判别：f′′(x)>0⇒f''(x)>0\Rightarrowf′′(x)>0⇒ 凹；f′′(x)<0⇒f''(x)<0\Rightarrowf′′(x)<0⇒ 凸。

拐点：曲线凹凸性发生改变的点。候选点为 f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0 或 f′′f''f′′ 不存在的点，再检查 f′′f''f′′ 在两侧是否变号。

拐点要写成坐标

拐点是曲线上的点，要写成 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))；极值点只写横坐标 x0x_0x0​。

6. 渐近线#

类型判断方法
水平渐近线 y=by=by=blim⁡x→+∞f(x)=b\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=bx→+∞lim​f(x)=b 或 lim⁡x→−∞f(x)=b\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=bx→−∞lim​f(x)=b
铅直渐近线 x=x0x=x_0x=x0​lim⁡x→x0+f(x)=∞\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\inftyx→x0+​lim​f(x)=∞ 或 lim⁡x→x0−f(x)=∞\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\inftyx→x0−​lim​f(x)=∞
斜渐近线 y=kx+by=kx+by=kx+bk=lim⁡f(x)x≠0k=\lim\dfrac{f(x)}{x}\ne0k=limxf(x)​=0，b=lim⁡[f(x)−kx]b=\lim\bigl[f(x)-kx\bigr]b=lim[f(x)−kx]，两个极限都要存在

铅直渐近线的候选点：分母为 000 的点、无定义点、定义域的有限端点。

7. 曲率（数一）#

曲率 KKK 描述曲线弯曲得有多厉害：直线的曲率为 000，半径为 RRR 的圆曲率处处为 1R\dfrac1RR1​。

曲率半径 ρ=1K\rho=\dfrac1Kρ=K1​。曲率圆是在该点与曲线相切、曲率相同、位于曲线凹侧的圆。

三、必背公式#

泰勒公式（拉格朗日余项）

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+⋯+n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1

斜渐近线

k=lim⁡x→∞f(x)x,b=lim⁡x→∞[f(x)−kx]k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-kx\bigr]k=limx→∞​xf(x)​,b=limx→∞​[f(x)−kx] +∞+\infty+∞ 和 −∞-\infty−∞ 要分开算。同一方向上，水平渐近线和斜渐近线不会同时存在。

弧微分与曲率

ds=1+y′2 dx,K=∣y′′∣(1+y′2)3/2,ρ=1K\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm dx,\qquad K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}},\qquad \rho=\frac1Kds=1+y′2​dx,K=(1+y′2)3/2∣y′′∣​,ρ=K1​ 参数方程 x=x(t), y=y(t)x=x(t),\ y=y(t)x=x(t), y=y(t)： K=∣x′y′′−x′′y′∣(x′2+y′2)3/2K=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}K=(x′2+y′2)3/2∣x′y′′−x′′y′∣​

四、题型与解题套路#

题型 1：洛必达与等价替换配合#

例 1 求 lim⁡x→0tan⁡x−xx−sin⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}x→0lim​x−sinxtanx−x​。

解 0/0 型，先用一次洛必达：

lim⁡x→0sec⁡2x−11−cos⁡x=lim⁡x→0tan⁡2x1−cos⁡x.\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-1}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan^2x}{1-\cos x}.x→0lim​1−cosxsec2x−1​=x→0lim​1−cosxtan2x​.

此时分子分母都是乘积形式，直接等价替换：x2x22=2\dfrac{x^2}{\frac{x^2}{2}}=\boxed22x2​x2​=2​。

验证：用第 01 篇的结论，x33x36=2\dfrac{\frac{x^3}{3}}{\frac{x^3}{6}}=26x3​3x3​​=2，一致。

先洛一次，再换

洛必达一次后，往往就出现了可以等价替换的乘积因子。不要一直求导下去，越求越复杂。

例 2 求 lim⁡x→+∞x100ex\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{100}}{e^x}x→+∞lim​exx100​。

解 ∞/∞ 型，连续用 100 次洛必达，分子变成常数 100!100!100!，分母仍是 exe^xex，所以极限为 0\boxed00​。

这正是第 01 篇“增长速度”结论 xb≪exx^b\ll e^xxb≪ex 的来源。

题型 2：只知道某点的高阶导数，求极限#

识别特征：题目只说 fff 在某一点二阶可导，没说 f′′f''f′′ 连续。

例 3 设 fff 在 x=0x=0x=0 处二阶可导，f(0)=0f(0)=0f(0)=0，f′(0)=1f'(0)=1f′(0)=1，f′′(0)=2f''(0)=2f′′(0)=2。求 lim⁡x→0f(x)−xx2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^2}x→0lim​x2f(x)−x​。

解 f′′(0)f''(0)f′′(0) 存在，说明 f′f'f′ 在 000 附近存在，可以用一次洛必达：

lim⁡x→0f′(x)−12x=12lim⁡x→0f′(x)−f′(0)x−0=12f′′(0)=1.\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-1}{2x}=\frac12\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\frac12f''(0)=\boxed1.x→0lim​2xf′(x)−1​=21​x→0lim​x−0f′(x)−f′(0)​=21​f′′(0)=1​.

第二步不能再用洛必达，要用导数定义。

为什么不能洛两次

如果洛两次，得到 lim⁡x→0f′′(x)2\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{2}x→0lim​2f′′(x)​。这要求 f′′f''f′′ 在 000 附近存在且在 000 处连续，而题目只给了 f′′(0)f''(0)f′′(0) 存在。结果碰巧相同，但过程会被扣分。

另一种做法：用佩亚诺余项的泰勒公式，f(x)=x+x2+o(x2)f(x)=x+x^2+o(x^2)f(x)=x+x2+o(x2)，直接得到 111。

题型 3：求单调区间与极值#

解法步骤：

  1. 求定义域；
  2. 求 f′(x)f'(x)f′(x)，找出驻点和不可导点；
  3. 用这些点把定义域分段，列表判断 f′f'f′ 的符号；
  4. 写出单调区间和极值。

例 4 求 f(x)=x23(x−5)f(x)=x^{\frac23}(x-5)f(x)=x32​(x−5) 的单调区间与极值。

解 定义域为 R\mathbb RR。f(x)=x53−5x23f(x)=x^{\frac53}-5x^{\frac23}f(x)=x35​−5x32​，

f′(x)=53x23−103x−13=5(x−2)3x3.f'(x)=\frac53x^{\frac23}-\frac{10}{3}x^{-\frac13}=\frac{5(x-2)}{3\sqrt[3]x}.f′(x)=35​x32​−310​x−31​=33x​5(x−2)​.

驻点 x=2x=2x=2，不可导点 x=0x=0x=0。列表：

区间(−∞,0)(-\infty,0)(−∞,0)000(0,2)(0,2)(0,2)222(2,+∞)(2,+\infty)(2,+∞)
f′f'f′+++不存在−-−000+++
fff增极大值 000减极小值 −343-3\sqrt[3]4−334​增

单调增区间为 (−∞,0](-\infty,0](−∞,0] 和 [2,+∞)[2,+\infty)[2,+∞)，单调减区间为 [0,2][0,2][0,2]。极大值 f(0)=0f(0)=0f(0)=0，极小值 f(2)=223⋅(−3)=−343f(2)=2^{\frac23}\cdot(-3)=-3\sqrt[3]4f(2)=232​⋅(−3)=−334​。

易漏

不可导点也可能是极值点。本例 x=0x=0x=0 处导数不存在，却是极大值点。

题型 4：由极限判断极值#

识别特征：题目没给函数表达式，只给了一个含 f(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)f(x)−f(x0​) 的极限。

解法：用极限的保号性，判断 f(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)f(x)−f(x0​) 在 x0x_0x0​ 附近的符号。

例 5 设 f(0)=0f(0)=0f(0)=0，lim⁡x→0f(x)1−cos⁡x=2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2x→0lim​1−cosxf(x)​=2。判断 x=0x=0x=0 是否为极值点。

解 极限为 2>02>02>0，由保号性，在 000 的某个去心邻域内 f(x)1−cos⁡x>0\dfrac{f(x)}{1-\cos x}>01−cosxf(x)​>0。而 1−cos⁡x>01-\cos x>01−cosx>0，所以 f(x)>0=f(0)f(x)>0=f(0)f(x)>0=f(0)。

因此 x=0x=0x=0 是极小值点。

顺便还能得到 f′(0)=lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→0f(x)1−cos⁡x⋅1−cos⁡xx=2⋅0=0f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{1-\cos x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x}=2\cdot0=0f′(0)=x→0lim​xf(x)​=x→0lim​1−cosxf(x)​⋅x1−cosx​=2⋅0=0。

题型 5：闭区间上的最值#

解法：比较三类点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值：驻点、不可导点、区间端点。

例 6 求 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3xf(x)=x3−3x 在 [−2,3][-2,3][−2,3] 上的最值。

解 f′(x)=3x2−3=0f'(x)=3x^2-3=0f′(x)=3x2−3=0，驻点 x=±1x=\pm1x=±1。计算：

f(−2)=−2,f(−1)=2,f(1)=−2,f(3)=18.f(-2)=-2,\quad f(-1)=2,\quad f(1)=-2,\quad f(3)=18.f(−2)=−2,f(−1)=2,f(1)=−2,f(3)=18.

最大值为 18\boxed{18}18​，最小值为 −2\boxed{-2}−2​。

唯一驻点

若 fff 在区间内只有一个驻点，且它是极大（小）值点，那么它就是最大（小）值点。应用题常用这个结论，不用再比较端点。

题型 6：凹凸区间与拐点#

例 7 求 y=x4−2x3+1y=x^4-2x^3+1y=x4−2x3+1 的凹凸区间与拐点。

解 y′=4x3−6x2y'=4x^3-6x^2y′=4x3−6x2，y′′=12x2−12x=12x(x−1)y''=12x^2-12x=12x(x-1)y′′=12x2−12x=12x(x−1)。y′′=0y''=0y′′=0 的点为 x=0,1x=0,1x=0,1。

区间(−∞,0)(-\infty,0)(−∞,0)(0,1)(0,1)(0,1)(1,+∞)(1,+\infty)(1,+∞)
y′′y''y′′+++−-−+++
曲线凹凸凹

两侧都变号，所以拐点为 (0,1)\boxed{(0,1)}(0,1)​ 和 (1,0)\boxed{(1,0)}(1,0)​。

例 8 求 y=x3y=\sqrt[3]xy=3x​ 的拐点。

解 y′′=−29x−53y''=-\dfrac29x^{-\frac53}y′′=−92​x−35​，在 x=0x=0x=0 处不存在。x<0x<0x<0 时 y′′>0y''>0y′′>0（凹），x>0x>0x>0 时 y′′<0y''<0y′′<0（凸），变号了。

所以 (0,0)(0,0)(0,0) 是拐点。这个例子说明：f′′f''f′′ 不存在的点也可能是拐点。

题型 7：求渐近线（数条数）#

解法步骤：

  1. 铅直：找无定义点，求单侧极限是否为 ∞\infty∞；
  2. 水平：分别求 x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 和 x→−∞x\to-\inftyx→−∞ 的极限；
  3. 斜：在没有水平渐近线的方向上，求 kkk 和 bbb。

例 9 求曲线 y=1x+ln⁡(1+ex)y=\dfrac1x+\ln(1+e^x)y=x1​+ln(1+ex) 的渐近线条数。

解

  • 铅直：x→0x\to0x→0 时 1x→∞\dfrac1x\to\inftyx1​→∞，所以 x=0x=0x=0 是铅直渐近线。
  • x→−∞x\to-\inftyx→−∞：1x→0\dfrac1x\to0x1​→0，ln⁡(1+ex)→ln⁡1=0\ln(1+e^x)\to\ln1=0ln(1+ex)→ln1=0，所以 y=0y=0y=0 是水平渐近线。
  • x→+∞x\to+\inftyx→+∞：y→+∞y\to+\inftyy→+∞，没有水平渐近线。求斜渐近线：
ln⁡(1+ex)=ln⁡[ex(1+e−x)]=x+ln⁡(1+e−x),\ln(1+e^x)=\ln\bigl[e^x(1+e^{-x})\bigr]=x+\ln(1+e^{-x}),ln(1+ex)=ln[ex(1+e−x)]=x+ln(1+e−x),k=lim⁡x→+∞yx=lim⁡x→+∞[1x2+1+ln⁡(1+e−x)x]=1,k=\lim_{x\to+\infty}\frac yx=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac1{x^2}+1+\frac{\ln(1+e^{-x})}{x}\right]=1,k=x→+∞lim​xy​=x→+∞lim​[x21​+1+xln(1+e−x)​]=1,b=lim⁡x→+∞(y−x)=lim⁡x→+∞[1x+ln⁡(1+e−x)]=0.b=\lim_{x\to+\infty}(y-x)=\lim_{x\to+\infty}\left[\frac1x+\ln(1+e^{-x})\right]=0.b=x→+∞lim​(y−x)=x→+∞lim​[x1​+ln(1+e−x)]=0.

所以 y=xy=xy=x 是斜渐近线。

共 3\boxed33​ 条。

处理 ln⁡(1+ex)\ln(1+e^x)ln(1+ex) 的技巧

x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时，把 exe^xex 提出来：ln⁡(1+ex)=x+ln⁡(1+e−x)\ln(1+e^x)=x+\ln(1+e^{-x})ln(1+ex)=x+ln(1+e−x)。这样斜渐近线一眼就能看出来。

题型 8：求曲率#

例 10 求抛物线 y=x2y=x^2y=x2 在点 (1,1)(1,1)(1,1) 处的曲率和曲率半径。

解 y′=2xy'=2xy′=2x，y′′=2y''=2y′′=2。在 x=1x=1x=1 处 y′=2y'=2y′=2，y′′=2y''=2y′′=2：

K=2(1+4)3/2=255,ρ=552.K=\frac{2}{(1+4)^{3/2}}=\boxed{\frac{2}{5\sqrt5}},\qquad\rho=\frac{5\sqrt5}{2}.K=(1+4)3/22​=55​2​​,ρ=255​​.

在顶点 (0,0)(0,0)(0,0) 处 y′=0y'=0y′=0，K=2K=2K=2，这是曲率最大的地方：抛物线在顶点处弯得最厉害。

题型 9：用单调性或最值证明不等式#

解法步骤：

  1. 移项，令 F(x)=F(x)=F(x)= 左边 −-− 右边；
  2. 找到一个端点使 F=0F=0F=0（或已知符号）；
  3. 证明 F′F'F′ 的符号固定（单调），或求出 FFF 的最小值。

F′F'F′ 的符号看不出来时，再求一次导，用 F′′F''F′′ 判断 F′F'F′ 的单调性。

例 11 证明：当 x>0x>0x>0 时，ln⁡(1+x)>x−x22\ln(1+x)>x-\dfrac{x^2}{2}ln(1+x)>x−2x2​。

证 令 F(x)=ln⁡(1+x)−x+x22F(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}{2}F(x)=ln(1+x)−x+2x2​，F(0)=0F(0)=0F(0)=0。

F′(x)=11+x−1+x=1−(1+x)+x(1+x)1+x=x21+x>0(x>0).F'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\frac{x^2}{1+x}>0\quad(x>0).F′(x)=1+x1​−1+x=1+x1−(1+x)+x(1+x)​=1+xx2​>0(x>0).

FFF 在 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) 上单调增，所以 x>0x>0x>0 时 F(x)>F(0)=0F(x)>F(0)=0F(x)>F(0)=0。

例 12 证明：对一切实数 xxx，ex≥1+xe^x\ge1+xex≥1+x。

证 令 F(x)=ex−1−xF(x)=e^x-1-xF(x)=ex−1−x，F′(x)=ex−1F'(x)=e^x-1F′(x)=ex−1。x<0x<0x<0 时 F′<0F'<0F′<0，x>0x>0x>0 时 F′>0F'>0F′>0，所以 FFF 在 x=0x=0x=0 处取最小值 F(0)=0F(0)=0F(0)=0。故 F(x)≥0F(x)\ge0F(x)≥0。

题型 10：比较两个常数的大小#

解法：把其中一个数换成变量，转化为函数的单调性。

例 13 比较 eπe^\pieπ 与 πe\pi^eπe 的大小。

解 两边取对数，比较 π\piπ 与 eln⁡πe\ln\pielnπ，即比较 ln⁡ee\dfrac{\ln e}{e}elne​ 与 ln⁡ππ\dfrac{\ln\pi}{\pi}πlnπ​。

令 g(x)=ln⁡xxg(x)=\dfrac{\ln x}{x}g(x)=xlnx​，g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}g′(x)=x21−lnx​。x>ex>ex>e 时 g′(x)<0g'(x)<0g′(x)<0，ggg 单调减。

因为 π>e\pi>eπ>e，所以 ln⁡ππ<ln⁡ee=1e\dfrac{\ln\pi}{\pi}<\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac1eπlnπ​<elne​=e1​，即 eln⁡π<πe\ln\pi<\pielnπ<π，所以 πe<eπ\boxed{\pi^e<e^\pi}πe<eπ​。

记住 ln⁡xx\dfrac{\ln x}{x}xlnx​

它在 (0,e)(0,e)(0,e) 上增，在 (e,+∞)(e,+\infty)(e,+∞) 上减，最大值为 1e\dfrac1ee1​。比较 aba^bab 与 bab^aba 这类问题几乎都靠它。

题型 11：用凹凸性证明不等式#

例 14 证明：当 0<x<π20<x<\dfrac\pi20<x<2π​ 时，sin⁡x>2πx\sin x>\dfrac{2}{\pi}xsinx>π2​x。

证 令 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx，在 (0,π2)\left(0,\dfrac\pi2\right)(0,2π​) 内 f′′(x)=−sin⁡x<0f''(x)=-\sin x<0f′′(x)=−sinx<0，曲线是凸的。

凸的曲线位于连接两端点的弦的上方。两端点为 (0,0)(0,0)(0,0) 和 (π2,1)\left(\dfrac\pi2,1\right)(2π​,1)，弦的方程为 y=2πxy=\dfrac{2}{\pi}xy=π2​x。所以 sin⁡x>2πx\sin x>\dfrac2\pi xsinx>π2​x。

几何直观
  • 凹（f′′>0f''>0f′′>0）：曲线在弦的下方，在切线的上方。
  • 凸（f′′<0f''<0f′′<0）：曲线在弦的上方，在切线的下方。

题型 12：用泰勒公式证明（含 f′′f''f′′ 的证明题）#

识别特征：题目给了 f′′f''f′′ 的条件，或要证的结论含 f′′(ξ)f''(\xi)f′′(ξ)，同时已知某点的 f′=0f'=0f′=0（如最值点）。

解法：在已知信息最多的点（通常是 f′=0f'=0f′=0 的点）展开到二阶，然后代入端点。

例 15 设 fff 在 [0,1][0,1][0,1] 上二阶可导，f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0，且 fff 在 [0,1][0,1][0,1] 上的最小值为 −1-1−1。证明存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1)，使 f′′(ξ)≥8f''(\xi)\ge8f′′(ξ)≥8。

证 端点处 f=0>−1f=0>-1f=0>−1，所以最小值在内部某点 c∈(0,1)c\in(0,1)c∈(0,1) 取到，f(c)=−1f(c)=-1f(c)=−1，并由费马引理 f′(c)=0f'(c)=0f′(c)=0。

在 ccc 处用拉格朗日余项的泰勒公式：

f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+f′′(η)2(x−c)2=−1+f′′(η)2(x−c)2.f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2=-1+\frac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2.f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+2f′′(η)​(x−c)2=−1+2f′′(η)​(x−c)2.

分别代入 x=0x=0x=0 和 x=1x=1x=1：

0=−1+f′′(ξ1)2c2 ⇒ f′′(ξ1)=2c2,0=−1+f′′(ξ2)2(1−c)2 ⇒ f′′(ξ2)=2(1−c)2,0=-1+\frac{f''(\xi_1)}{2}c^2\ \Rightarrow\ f''(\xi_1)=\frac{2}{c^2},\qquad 0=-1+\frac{f''(\xi_2)}{2}(1-c)^2\ \Rightarrow\ f''(\xi_2)=\frac{2}{(1-c)^2},0=−1+2f′′(ξ1​)​c2 ⇒ f′′(ξ1​)=c22​,0=−1+2f′′(ξ2​)​(1−c)2 ⇒ f′′(ξ2​)=(1−c)22​,

其中 ξ1∈(0,c)\xi_1\in(0,c)ξ1​∈(0,c)，ξ2∈(c,1)\xi_2\in(c,1)ξ2​∈(c,1)。

  • 若 c≤12c\le\dfrac12c≤21​，则 f′′(ξ1)=2c2≥8f''(\xi_1)=\dfrac{2}{c^2}\ge8f′′(ξ1​)=c22​≥8；
  • 若 c>12c>\dfrac12c>21​，则 1−c<121-c<\dfrac121−c<21​，f′′(ξ2)=2(1−c)2>8f''(\xi_2)=\dfrac{2}{(1-c)^2}>8f′′(ξ2​)=(1−c)22​>8。

总之存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)ξ∈(0,1) 使 f′′(ξ)≥8f''(\xi)\ge8f′′(ξ)≥8。

例 16 设 f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0。证明对任意 xxx 和 x0x_0x0​，f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x−x0)f(x)\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)f(x)≥f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)。

证 在 x0x_0x0​ 处展开：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(ξ)2(x−x0)2≥f(x0)+f′(x0)(x−x0).f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2\ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2f′′(ξ)​(x−x0​)2≥f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​).

这就是“凹的曲线在切线上方”的严格证明。

题型 13：讨论方程根的个数#

解法步骤：

  1. 分离参数：把方程化成 g(x)=kg(x)=kg(x)=k 的形式；
  2. 研究 ggg 的单调区间、极值，以及定义域端点处的极限；
  3. 画出 ggg 的大致图像，看水平线 y=ky=ky=k 与它有几个交点。

例 17 讨论方程 ln⁡x=kx\ln x=kxlnx=kx 的实根个数。

解 x>0x>0x>0，方程等价于 ln⁡xx=k\dfrac{\ln x}{x}=kxlnx​=k。令 g(x)=ln⁡xxg(x)=\dfrac{\ln x}{x}g(x)=xlnx​。

由例 13，ggg 在 (0,e)(0,e)(0,e) 上增，在 (e,+∞)(e,+\infty)(e,+∞) 上减，最大值 g(e)=1eg(e)=\dfrac1eg(e)=e1​。端点处的极限：

lim⁡x→0+g(x)=−∞,lim⁡x→+∞g(x)=0+.\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty,\qquad\lim_{x\to+\infty}g(x)=0^+.x→0+lim​g(x)=−∞,x→+∞lim​g(x)=0+.

所以 ggg 在 (0,e)(0,e)(0,e) 上从 −∞-\infty−∞ 增到 1e\dfrac1ee1​，在 (e,+∞)(e,+\infty)(e,+∞) 上从 1e\dfrac1ee1​ 减到 000（始终为正）。

kkk 的范围根的个数
k>1ek>\dfrac1ek>e1​0 个
k=1ek=\dfrac1ek=e1​1 个（x=ex=ex=e）
0<k<1e0<k<\dfrac1e0<k<e1​2 个
k≤0k\le0k≤01 个
端点极限决定结果

只求极值、不求端点极限，就判断不了根的个数。本题若不知道 x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时 g→0+g\to0^+g→0+，就会误以为 k≤0k\le0k≤0 时右侧也有根。

五、证明思路#

1. 单调性判别法#

任取 x1<x2x_1<x_2x1​<x2​，由拉格朗日中值定理：

f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1).f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1).f(x2​)−f(x1​)=f′(ξ)(x2​−x1​).

f′(ξ)>0f'(\xi)>0f′(ξ)>0，x2−x1>0x_2-x_1>0x2​−x1​>0，所以 f(x2)>f(x1)f(x_2)>f(x_1)f(x2​)>f(x1​)。

2. 洛必达法则（0/0 型，x→x0x\to x_0x→x0​）#

补充定义 f(x0)=g(x0)=0f(x_0)=g(x_0)=0f(x0​)=g(x0​)=0，使 f,gf,gf,g 在 x0x_0x0​ 处连续。对 x0x_0x0​ 与 xxx 之间的区间用柯西中值定理：

f(x)g(x)=f(x)−f(x0)g(x)−g(x0)=f′(ξ)g′(ξ).\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.g(x)f(x)​=g(x)−g(x0​)f(x)−f(x0​)​=g′(ξ)f′(ξ)​.

ξ\xiξ 夹在 x0x_0x0​ 和 xxx 之间，x→x0x\to x_0x→x0​ 时 ξ→x0\xi\to x_0ξ→x0​，于是两个极限相等。

3. 极值的第二充分条件#

f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0，所以

f′′(x0)=lim⁡x→x0f′(x)−f′(x0)x−x0=lim⁡x→x0f′(x)x−x0>0.f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}>0.f′′(x0​)=x→x0​lim​x−x0​f′(x)−f′(x0​)​=x→x0​lim​x−x0​f′(x)​>0.

由保号性，在 x0x_0x0​ 附近 f′(x)f'(x)f′(x) 与 x−x0x-x_0x−x0​ 同号：左侧 f′<0f'<0f′<0，右侧 f′>0f'>0f′>0。由第一充分条件，x0x_0x0​ 是极小值点。

4. 拉格朗日余项#

令 R(x)=f(x)−Pn(x)R(x)=f(x)-P_n(x)R(x)=f(x)−Pn​(x)，其中 PnP_nPn​ 是 nnn 阶泰勒多项式。由构造，

R(x0)=R′(x0)=⋯=R(n)(x0)=0.R(x_0)=R'(x_0)=\cdots=R^{(n)}(x_0)=0.R(x0​)=R′(x0​)=⋯=R(n)(x0​)=0.

对 R(x)(x−x0)n+1\dfrac{R(x)}{(x-x_0)^{n+1}}(x−x0​)n+1R(x)​ 反复用 n+1n+1n+1 次柯西中值定理（每次分子分母在 x0x_0x0​ 处都为 000），最后得到

R(x)(x−x0)n+1=R(n+1)(ξ)(n+1)!=f(n+1)(ξ)(n+1)!.\frac{R(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}.(x−x0​)n+1R(x)​=(n+1)!R(n+1)(ξ)​=(n+1)!f(n+1)(ξ)​.

5. f′′>0f''>0f′′>0 时曲线是凹的#

取 x1<x2x_1<x_2x1​<x2​，中点 x0=x1+x22x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}x0​=2x1​+x2​​，h=x2−x12h=\dfrac{x_2-x_1}{2}h=2x2​−x1​​。在两个半区间上分别用拉格朗日：

f(x0)−f(x1)=f′(ξ1)h,f(x2)−f(x0)=f′(ξ2)h,ξ1<x0<ξ2.f(x_0)-f(x_1)=f'(\xi_1)h,\qquad f(x_2)-f(x_0)=f'(\xi_2)h,\qquad\xi_1<x_0<\xi_2.f(x0​)−f(x1​)=f′(ξ1​)h,f(x2​)−f(x0​)=f′(ξ2​)h,ξ1​<x0​<ξ2​.

f′′>0f''>0f′′>0 说明 f′f'f′ 单调增，f′(ξ1)<f′(ξ2)f'(\xi_1)<f'(\xi_2)f′(ξ1​)<f′(ξ2​)，所以 f(x0)−f(x1)<f(x2)−f(x0)f(x_0)-f(x_1)<f(x_2)-f(x_0)f(x0​)−f(x1​)<f(x2​)−f(x0​)，即

f(x0)<f(x1)+f(x2)2.f(x_0)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.f(x0​)<2f(x1​)+f(x2​)​.

六、易错点#

驻点 ≠ 极值点 ≠ 拐点
  • f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0 只是“可能是极值点”。x3x^3x3 在 000 处是驻点，但不是极值点。
  • f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0​)=0 只是“可能是拐点”。x4x^4x4 在 000 处 f′′=0f''=0f′′=0，但两侧都凹，不是拐点。
  • 反过来，不可导点和 f′′f''f′′ 不存在的点也可能是极值点或拐点。
  • 洛必达条件不满足：求导后极限不存在，不能说明原极限不存在；只知道一点处的高阶导数时，不能洛到底。
  • 漏掉不可导点：求极值和最值时，候选点包括不可导点。
  • 拐点写成横坐标：拐点要写 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​))。
  • 渐近线不分 ±∞\pm\infty±∞：exe^xex、arctan⁡x\arctan xarctanx、ln⁡(1+ex)\ln(1+e^x)ln(1+ex) 等，两个方向的结果往往不同。
  • 斜渐近线只求 kkk 不求 bbb：kkk 存在但 bbb 不存在（如 y=x+xy=x+\sqrt xy=x+x​ 中 b→∞b\to\inftyb→∞），就没有斜渐近线。
  • 根的个数只看极值、不看端点极限。
  • 泰勒公式用错余项：证明不等式要用拉格朗日余项；佩亚诺余项只能说明局部情况。

七、小练习#

1. 求 f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x}f(x)=xe−x 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点。

点击查看答案

f′(x)=(1−x)e−xf'(x)=(1-x)e^{-x}f′(x)=(1−x)e−x：在 (−∞,1)(-\infty,1)(−∞,1) 上增，在 (1,+∞)(1,+\infty)(1,+∞) 上减，极大值 f(1)=1ef(1)=\dfrac1ef(1)=e1​。

f′′(x)=(x−2)e−xf''(x)=(x-2)e^{-x}f′′(x)=(x−2)e−x：在 (−∞,2)(-\infty,2)(−∞,2) 上凸，在 (2,+∞)(2,+\infty)(2,+∞) 上凹，拐点为 (2,2e2)\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)(2,e22​)。

2. 求曲线 y=x2x+1y=\dfrac{x^2}{x+1}y=x+1x2​ 的全部渐近线。

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  • 铅直：x→−1x\to-1x→−1 时 y→∞y\to\inftyy→∞，得 x=−1x=-1x=−1。
  • 斜：k=lim⁡xx+1=1k=\lim\dfrac{x}{x+1}=1k=limx+1x​=1，b=lim⁡(x2x+1−x)=lim⁡−xx+1=−1b=\lim\left(\dfrac{x^2}{x+1}-x\right)=\lim\dfrac{-x}{x+1}=-1b=lim(x+1x2​−x)=limx+1−x​=−1，得 y=x−1y=x-1y=x−1（x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ 相同）。
  • 无水平渐近线。

3. 证明：当 x>0x>0x>0 时，x1+x<ln⁡(1+x)<x\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x1+xx​<ln(1+x)<x。

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右边：令 g(x)=x−ln⁡(1+x)g(x)=x-\ln(1+x)g(x)=x−ln(1+x)，g(0)=0g(0)=0g(0)=0，g′(x)=x1+x>0g'(x)=\dfrac{x}{1+x}>0g′(x)=1+xx​>0，所以 g(x)>0g(x)>0g(x)>0。

左边：令 h(x)=ln⁡(1+x)−x1+xh(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}h(x)=ln(1+x)−1+xx​，h(0)=0h(0)=0h(0)=0，h′(x)=11+x−1(1+x)2=x(1+x)2>0h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}=\dfrac{x}{(1+x)^2}>0h′(x)=1+x1​−(1+x)21​=(1+x)2x​>0，所以 h(x)>0h(x)>0h(x)>0。

4. 求方程 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0x3−3x+1=0 的实根个数。

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令 f(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1f(x)=x3−3x+1，f′(x)=3(x2−1)f'(x)=3(x^2-1)f′(x)=3(x2−1)。fff 在 (−∞,−1)(-\infty,-1)(−∞,−1) 上增，在 (−1,1)(-1,1)(−1,1) 上减，在 (1,+∞)(1,+\infty)(1,+∞) 上增。

极大值 f(−1)=3>0f(-1)=3>0f(−1)=3>0，极小值 f(1)=−1<0f(1)=-1<0f(1)=−1<0，且 x→−∞x\to-\inftyx→−∞ 时 f→−∞f\to-\inftyf→−∞，x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时 f→+∞f\to+\inftyf→+∞。

三个单调区间上各有一个根，共 3 个实根。

5. 求曲线 y=ln⁡xy=\ln xy=lnx 上曲率最大的点及最大曲率。

点击查看答案

y′=1xy'=\dfrac1xy′=x1​，y′′=−1x2y''=-\dfrac1{x^2}y′′=−x21​，

K(x)=1x2(1+1x2)3/2=x(1+x2)3/2.K(x)=\frac{\frac1{x^2}}{\left(1+\frac1{x^2}\right)^{3/2}}=\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.K(x)=(1+x21​)3/2x21​​=(1+x2)3/2x​.

K′(x)=1−2x2(1+x2)5/2K'(x)=\dfrac{1-2x^2}{(1+x^2)^{5/2}}K′(x)=(1+x2)5/21−2x2​，唯一驻点 x=12x=\dfrac{1}{\sqrt2}x=2​1​，左正右负，是最大值点。

最大曲率 K=1/2(3/2)3/2=239K=\dfrac{1/\sqrt2}{(3/2)^{3/2}}=\dfrac{2\sqrt3}{9}K=(3/2)3/21/2​​=923​​，对应点为 (12,−ln⁡22)\left(\dfrac{1}{\sqrt2},-\dfrac{\ln2}{2}\right)(2​1​,−2ln2​)。

八、本章小结#

  • 洛必达：先化简，洛一次后看能否等价替换；只知道一点处高阶导数时，最后一步用导数定义。
  • 泰勒公式：佩亚诺余项管局部（极限、极值），拉格朗日余项管整体（不等式、证明题）。
  • 极值候选点：驻点 + 不可导点；最值还要加上端点。
  • 拐点候选点：f′′=0f''=0f′′=0 或不存在，并且两侧要变号；结果写成坐标。
  • 渐近线：铅直看无定义点，水平和斜分 ±∞\pm\infty±∞ 讨论。
  • 不等式：作差构造函数，用单调性、最值、凹凸性或泰勒公式。
  • 根的个数：分离参数，研究单调性、极值和端点极限。

下一篇：05 不定积分。

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Note

本站已于 2026-10-03 从 Hexo + Butterfly 迁移到 Astro + Firefly。本文作为历史记录保留，内容仍适用于想使用 Hexo 的读者。

安装#

Terminal window
1
npm install -g hexo-cli
2
hexo init blog && cd blog
3
npm install hexo-theme-butterfly hexo-renderer-pug hexo-renderer-stylus --save

启用主题#

修改 _config.yml：

1
theme: butterfly

并把 node_modules/hexo-theme-butterfly/_config.yml 复制为根目录的 _config.butterfly.yml，之后所有主题配置都在这个文件修改，升级主题不会丢失。

常用命令#

命令说明
hexo new "标题"新建文章
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