高数速成复习 03：微分中值定理

1. 费马引理#

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是极值点，则 $f'(x_0)=0$。

大白话：光滑曲线在山顶或谷底的切线是水平的。

2. 罗尔定理#

若 $f$ 满足：

1. 在 $[a,b]$ 上连续；
2. 在 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f'(\xi)=0$。

3. 拉格朗日中值定理#

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

几何意义：曲线上一定有一点的切线平行于连接两端点的弦。

常用的等价写法：令 $\xi=a+\theta(b-a)$，$0<\theta<1$，则

4. 柯西中值定理#

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x)\ne0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使

取 $g(x)=x$ 就是拉格朗日；拉格朗日中再加 $f(a)=f(b)$ 就是罗尔。所以三者是由特殊到一般的关系：

5. 两个推论#

• 若在区间 $I$ 上 $f'(x)\equiv0$，则 $f$ 在 $I$ 上是常数。
• 若在区间 $I$ 上 $f'(x)\equiv g'(x)$，则 $f(x)=g(x)+C$。

6. 零点个数的结论#

• 若 $f$ 有 $n$ 个不同零点，则 $f'$ 至少有 $n-1$ 个零点（相邻零点之间用罗尔）。
• 反过来，若 $f^{(n)}(x)\ne0$，则 $f$ 至多有 $n$ 个零点。

题型 1：直接用罗尔，证明 $f'(\xi)=0$#

解法：找两个函数值相等的点。如果题目没直接给，常用介值定理或积分中值定理先造出一个点。

例 1 设 $f$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0)+f(1)+f(2)=3$，$f(3)=1$。证明存在 $\xi\in(0,3)$，使 $f'(\xi)=0$。

证 已有 $f(3)=1$，只需在 $[0,2]$ 上再找一个点 $c$ 使 $f(c)=1$。

$f$ 在 $[0,2]$ 上连续，有最大值 $M$ 和最小值 $m$，于是

由介值定理，存在 $c\in[0,2]$ 使 $f(c)=1=f(3)$。在 $[c,3]$ 上用罗尔，存在 $\xi\in(c,3)\subset(0,3)$，使 $f'(\xi)=0$。

题型 2：构造辅助函数（还原法）#

识别特征：结论是“存在 $\xi$，使含 $f(\xi)$、$f'(\xi)$ 的式子等于 $0$”。

解法步骤（还原法）：

1. 把 $\xi$ 换成 $x$，得到一个关于 $f,f'$ 的等式；
2. 把它看成微分方程，解出来写成 $F(x)=C$ 的形式，这个 $F$ 就是辅助函数；
3. 验证 $F$ 在区间两端的值相等，用罗尔。

例 2 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=0$。证明存在 $\xi\in(0,1)$，使

分析 还原：$xf'(x)+2f(x)=0$。两边乘 $x$ 得 $x^2f'(x)+2xf(x)=0$，即 $\bigl(x^2f(x)\bigr)'=0$。所以取 $F(x)=x^2f(x)$。

证 令 $F(x)=x^2f(x)$，则 $F(0)=0$，$F(1)=f(1)=0$。由罗尔，存在 $\xi\in(0,1)$，使

因为 $\xi\ne0$，所以 $\xi f'(\xi)+2f(\xi)=0$。

例 3 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=f(1)=0$，$f\left(\frac12\right)=1$。证明：

1. 存在 $\eta\in\left(\frac12,1\right)$，使 $f(\eta)=\eta$；
2. 对任意实数 $\lambda$，存在 $\xi\in(0,\eta)$，使 $f'(\xi)-\lambda\bigl[f(\xi)-\xi\bigr]=1$。

证 (1) 令 $\varphi(x)=f(x)-x$。$\varphi\left(\frac12\right)=\frac12>0$，$\varphi(1)=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta\in\left(\frac12,1\right)$ 使 $\varphi(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。

(2) 把结论改写为 $\bigl[f'(\xi)-1\bigr]-\lambda\bigl[f(\xi)-\xi\bigr]=0$，即 $\varphi'(\xi)-\lambda\varphi(\xi)=0$。

这是辅助函数表第一行（$\lambda$ 换成 $-\lambda$），取 $F(x)=e^{-\lambda x}\varphi(x)=e^{-\lambda x}\bigl[f(x)-x\bigr]$。

$F(0)=0$，$F(\eta)=e^{-\lambda\eta}\varphi(\eta)=0$。由罗尔，存在 $\xi\in(0,\eta)$，使

$e^{-\lambda\xi}\ne0$，所以 $f'(\xi)-1-\lambda\bigl[f(\xi)-\xi\bigr]=0$，得证。

题型 3：多项式方程有根（原函数法）#

识别特征：证明某个方程在区间内有根，直接用零点定理找不到异号的点。

解法：把方程左边看成某个函数的导数，取原函数作辅助函数，用罗尔。

例 4 设 $a+b+c=0$。证明方程 $3ax^2+2bx+c=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个根。

证 $3ax^2+2bx+c$ 的一个原函数是 $F(x)=ax^3+bx^2+cx$。

$F(0)=0$，$F(1)=a+b+c=0$。由罗尔，存在 $\xi\in(0,1)$，使 $F'(\xi)=3a\xi^2+2b\xi+c=0$。

题型 4：多次用罗尔，证明高阶导数有零点#

解法：先找 $f$ 的零点（或相等的函数值），用罗尔得到 $f'$ 的零点，再对 $f'$ 用罗尔，逐阶往上推。

例 5 设 $f$ 在 $[0,3]$ 上二阶可导，且 $f(0)=f(1)=f(3)=0$。证明存在 $\xi\in(0,3)$，使 $f''(\xi)=0$。

证 在 $[0,1]$ 和 $[1,3]$ 上分别用罗尔，得 $\xi_1\in(0,1)$，$\xi_2\in(1,3)$，使 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$。

再对 $f'$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上用罗尔，得 $\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,3)$，使 $f''(\xi)=0$。

例 6 求 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ 的导函数 $f'(x)=0$ 的实根个数。

解 $f$ 有 4 个零点 $0,1,2,3$。在 $[0,1]$、$[1,2]$、$[2,3]$ 上分别用罗尔，$f'$ 至少有 3 个根。

又 $f'$ 是三次多项式，至多 3 个根。所以 $f'(x)=0$ 恰有 $\boxed3$ 个实根。

题型 5：结论中含 $a,b$（拉格朗日或柯西）#

识别特征：结论里只有一个 $\xi$，但同时出现 $f(a)$、$f(b)$ 或 $a,b$。

解法：

1. 把含 $\xi$ 的部分移到一边，含 $a,b$ 的部分移到另一边；
2. 若 $a,b$ 一边能写成 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$，用拉格朗日；
3. 若能写成 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$，用柯西，关键是认出 $g$。

例 7 设 $0<a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。证明存在 $\xi\in(a,b)$，使

分析 分离：$\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\xi f'(\xi)=\dfrac{f'(\xi)}{1/\xi}$。右边正是 $f'$ 除以 $(\ln x)'$，所以 $g(x)=\ln x$。

证 取 $g(x)=\ln x$，在 $[a,b]$ 上 $g'(x)=\frac1x\ne0$。由柯西中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使

整理即得结论。

题型 6：双中值问题#

情况一：$\xi,\eta$ 不要求不同。 一般是对同一个区间用两次中值定理（常见组合：拉格朗日 + 柯西），然后把两个式子中相同的部分消掉。

例 8 设 $0<a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。证明存在 $\xi,\eta\in(a,b)$，使

证 右边有 $\dfrac{f'(\eta)}{2\eta}$，这是 $f'$ 除以 $(x^2)'$，对 $f$ 和 $g(x)=x^2$ 用柯西：

再对 $f$ 用拉格朗日：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。代入上式：

情况二：要求 $\xi\ne\eta$。 这时必须找一个分点 $c$，在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上各用一次拉格朗日，两个中值自然落在不同区间。

例 9 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：

1. 存在 $c\in(0,1)$，使 $f(c)=1-c$；
2. 存在两个不同的点 $\xi,\eta\in(0,1)$，使 $f'(\xi)f'(\eta)=1$。

证 (1) 令 $\varphi(x)=f(x)-1+x$，$\varphi(0)=-1<0$，$\varphi(1)=1>0$，由零点定理得 $c$。

(2) 在 $[0,c]$ 和 $[c,1]$ 上分别用拉格朗日：

其中 $\xi\in(0,c)$，$\eta\in(c,1)$，所以 $\xi\ne\eta$，且 $f'(\xi)f'(\eta)=1$。

题型 7：用拉格朗日证明不等式#

识别特征：不等式中出现 $f(b)-f(a)$ 的形式，或者能整理成这种形式。

解法：用拉格朗日把差变成 $f'(\xi)(b-a)$，再利用 $a<\xi<b$ 对 $f'(\xi)$ 放缩。

例 10 设 $0<a<b$，证明

证 对 $f(x)=\ln x$ 在 $[a,b]$ 上用拉格朗日：

由 $\dfrac1b<\dfrac1\xi<\dfrac1a$，各乘 $b-a>0$ 即得结论。

题型 8：用拉格朗日求极限#

识别特征：极限中出现同一个函数在两点处的差，如 $f(\square_1)-f(\square_2)$。

例 11 求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left[\arctan\frac{a}{x}-\arctan\frac{a}{x+1}\right]$（$a\ne0$）。

解 对 $\arctan t$ 在 $\frac{a}{x+1}$ 与 $\frac ax$ 之间用拉格朗日：

$\xi$ 夹在两个都趋于 $0$ 的数之间，所以 $\xi\to0$。于是

题型 9：证明恒等式#

解法：令 $F(x)=$ 左边 $-$ 右边，证明 $F'(x)\equiv0$，再代一个特殊点求出常数。

例 12 证明 $\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2$，$x\in[-1,1]$。

证 令 $F(x)=\arcsin x+\arccos x$。在 $(-1,1)$ 内

所以 $F(x)\equiv C$。取 $x=0$ 得 $C=\dfrac\pi2$。端点 $x=\pm1$ 直接代入验证也成立。

1. 费马引理#

设 $x_0$ 是极大值点，在 $x_0$ 附近 $f(x)\le f(x_0)$，所以

由极限的保号性，$f'_-(x_0)\ge0$，$f'_+(x_0)\le0$。又因为可导，两者相等，只能等于 $0$。

2. 罗尔定理#

$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，必有最大值 $M$ 和最小值 $m$。

• 若 $M=m$，$f$ 是常数，任取 $\xi$ 都有 $f'(\xi)=0$。
• 若 $M>m$，由于 $f(a)=f(b)$，$M$ 和 $m$ 至少有一个在区间内部取到，该点是极值点，由费马引理导数为 $0$。

3. 拉格朗日：从 $f$ 中减去弦#

弦的方程是 $L(x)=f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。令 $F(x)=f(x)-L(x)$，则 $F(a)=F(b)=0$。由罗尔，存在 $\xi$ 使

直观上，就是把图像“扳平”，使两端等高，再用罗尔。

4. 柯西：同样的思路#

令 $F(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)$，可以验证 $F(a)=F(b)$，用罗尔即得。

5. 还原法为什么有效#

以 $f'(x)+\lambda f(x)=0$ 为例，把它当作微分方程来解：

这说明 $\bigl(e^{\lambda x}f(x)\bigr)'=e^{\lambda x}\bigl[f'(x)+\lambda f(x)\bigr]$，正好包含要证的式子。乘上的 $e^{\lambda x}$ 恒不为 $0$，所以 $F'(\xi)=0$ 就等价于结论成立。$x^kf(x)$ 也是同样的道理。