高数速成复习 01：函数、极限与连续

1. 函数的四个性质#

• 有界性：存在 $M>0$，使 $|f(x)|\le M$。注意：有界与否要说明“在哪个区间上”。
• 单调性：在区间上 $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$（单调增）。
• 奇偶性：定义域关于原点对称，$f(-x)=-f(x)$ 为奇，$f(-x)=f(x)$ 为偶。
• 周期性：$f(x+T)=f(x)$。

2. 极限的定义（读懂即可）#

• 数列：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$ 指对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|x_n-A|<\varepsilon$。
• 函数：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 指对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$。

大白话：只要 $x$ 足够靠近 $x_0$（但不等于 $x_0$），$f(x)$ 就能任意靠近 $A$。所以极限和 $f(x_0)$ 本身等于多少、有没有定义都无关。

3. 左右极限#

4. 极限的三个性质#

1. 唯一性：极限存在则唯一。
2. 局部有界性：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则 $f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有界。
3. 局部保号性：若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>0$，则在 $x_0$ 附近 $f(x)>0$；反过来，若在 $x_0$ 附近 $f(x)\ge0$ 且极限存在，则 $A\ge0$（注意是 $\ge$，不是 $>$）。

5. 无穷小与阶的比较#

设 $\alpha\to0$，$\beta\to0$，且 $\beta\ne0$：

无穷小 × 有界量 = 无穷小。例如 $\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac1x=0$。

6. 连续与间断#

$f$ 在 $x_0$ 连续：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。三个条件缺一不可：有定义、极限存在、两者相等。

间断点分类：

1. 两个重要极限#

2. 等价无穷小（$x\to0$）#

公式里的 $x$ 可以换成任何趋于 $0$ 的式子 $\square$，例如 $\ln(1+x^2)\sim x^2$，$e^{\sin x}-1\sim\sin x\sim x$。

3. 常用泰勒展开（$x\to0$）#

4. 1^∞ 型公式#

若 $u\to1$，$v\to\infty$，则

5. 增长速度（$x\to+\infty$）#

题型 1：0/0 型#

识别特征：代入后分子分母都是 $0$。

解法步骤：

1. 先化简：非零因子先算出来（如 $\cos x\to1$ 直接代入）；根式先有理化。
2. 等价替换：只替换乘除中的因子。
3. 泰勒展开：出现加减、等价替换失效时用。
4. 洛必达：上面都不好用时再用，每求一次导先化简。

例 1 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$。

解 分母是 $x^4$，分子展开到 $x^4$：

相减：$\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}=\left(\frac1{24}-\frac{3}{24}\right)x^4+o(x^4)=-\frac{x^4}{12}+o(x^4)$，所以极限为 $\boxed{-\dfrac{1}{12}}$。

题型 2：∞−∞ 型#

识别特征：两个都趋于 $\infty$ 的式子相减。

解法：

• 分式相减 → 通分，化成 0/0。
• 根式相减 → 有理化。
• $x\to\infty$ 且不好通分 → 倒代换 $t=\frac1x$。

例 2 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1{x^2}-\frac1{x\tan x}\right)$。

解 通分：

分母中 $\tan x$ 是乘积因子，可以换成 $x$；分子是差，用必背的 $\tan x-x\sim\frac{x^3}{3}$。

例 3 求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right]$。

解 令 $t=\frac1x\to0^+$：

例 4 求 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$。

解 有理化：$\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\boxed{\frac12}$。

题型 3：0·∞ 型#

解法：把其中一个因子“翻”到分母，变成 0/0 或 ∞/∞。一般把对数、反三角函数留在分子，因为它们求导后更简单。

例如 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac1x}\overset{\text{洛}}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0$。

题型 4：1^∞ 型#

识别特征：底数趋于 $1$，指数趋于 $\infty$。

解法：直接套公式 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$。

例 5 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac1{x^2}}$。

解 $v(u-1)=\dfrac{\cos x-1}{x^2}\to-\dfrac12$，所以原式 $=\boxed{e^{-\frac12}}$。

例 6 求 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x$。

解 $u-1=\dfrac{2}{x-1}$，$v(u-1)=\dfrac{2x}{x-1}\to2$，所以原式 $=\boxed{e^2}$。

题型 5：0^0 与 ∞^0 型#

解法：取对数，$u^v=e^{v\ln u}$，指数部分变成 0·∞。

例 7 求 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sin x}$。

解 $\sin x\ln x\sim x\ln x\to0$，所以原式 $=e^0=\boxed{1}$。

题型 6：数列极限#

三种主要方法：

另外，数列极限可以转成函数极限再算（把 $n$ 换成 $x$），这样就能用洛必达。数列本身不连续，不能直接对 $n$ 求导。

例 8（夹逼） 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k}$。

解 每一项满足 $\dfrac{n}{n^2+n}\le\dfrac{n}{n^2+k}\le\dfrac{n}{n^2+1}$，求和得

两边都趋于 $1$，所以极限为 $\boxed{1}$。

例 9（单调有界） 设 $x_1=\sqrt2$，$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$，证明 $\{x_n\}$ 收敛并求极限。

解 套路固定为三步：

1. 有界（数学归纳法）：$x_1=\sqrt2<2$；若 $x_n<2$，则 $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt4=2$。所以 $0<x_n<2$。
2. 单调：$x_{n+1}^2-x_n^2=2+x_n-x_n^2=(2-x_n)(1+x_n)>0$，所以 $x_{n+1}>x_n$，单调递增。
3. 求极限：单调有界必收敛，设极限为 $A$，对递推式两边取极限得 $A=\sqrt{2+A}$，解得 $A=2$（$A=-1$ 舍去，因为 $x_n>0$）。

题型 7：无穷小比较与反求参数#

解法：把两个无穷小都化成 $cx^k$ 的形式（用等价或泰勒），比较 $k$ 和 $c$。

例 10 当 $x\to0$ 时，$(1+ax^2)^{\frac13}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，求 $a$。

解 $(1+ax^2)^{\frac13}-1\sim\dfrac{a}{3}x^2$，$\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$。等价要求 $\dfrac a3=-\dfrac12$，所以 $\boxed{a=-\dfrac32}$。

例 11 已知 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2$，求 $a,b$。

解 分子泰勒展开：

除以 $x^2$ 后极限存在，$x$ 的系数必须为 $0$：$a=1$；再令 $-\frac12-b=2$，得 $b=-\frac52$。

题型 8：间断点分类#

解法步骤：

1. 找可疑点：分母为 $0$ 的点、分段点、对数和根号的定义域端点。
2. 对每个点分别求左右极限。
3. 对照分类表下结论。

例 12 求 $f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x|(x^2-1)}$ 的间断点并分类。

解 可疑点为 $x=0,\pm1$。当 $x\ne1$ 时，约去 $x-1$，得 $f(x)=\dfrac{x}{|x|(x+1)}$。

• $x=0$：$\dfrac{x}{|x|}$ 在左侧为 $-1$，右侧为 $1$，所以 $f(0^-)=-1$，$f(0^+)=1$，是跳跃间断点。
• $x=1$：$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac12$，但 $f(1)$ 无定义，是可去间断点。
• $x=-1$：在 $-1$ 附近 $\dfrac{x}{|x|}=-1$，$f(x)=-\dfrac{1}{x+1}\to\infty$，是无穷间断点。

题型 9：零点定理证明方程有根#

闭区间上连续函数的性质：

• 最值定理：在 $[a,b]$ 上连续，必有最大值和最小值（因此必有界）。
• 介值定理：能取到最大值和最小值之间的任何值。
• 零点定理：若 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$。

例 13 证明方程 $x^5-3x=1$ 在 $(1,2)$ 内至少有一个根。

证 令 $f(x)=x^5-3x-1$，它在 $[1,2]$ 上连续。$f(1)=-3<0$，$f(2)=25>0$，由零点定理，存在 $\xi\in(1,2)$ 使 $f(\xi)=0$。

1. 为什么 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$#

在单位圆中，对 $0<x<\frac\pi2$，比较三块面积：三角形 $<$ 扇形 $<$ 大三角形，即

$\cos x\to1$，由夹逼准则得极限为 $1$。$x<0$ 时由偶函数性质同样成立。

2. 为什么等价替换只能替换乘除因子#

若 $\alpha\sim\alpha'$，则

这一步只依赖“乘一个趋于 $1$ 的因子”。加减时没有这样的因子可以拆出来，替换会丢掉高阶项，所以不成立。

3. 为什么 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$#

$u^v=e^{v\ln u}$，而 $u\to1$ 时 $\ln u=\ln\bigl(1+(u-1)\bigr)\sim u-1$，所以 $v\ln u$ 与 $v(u-1)$ 的极限相同。

4. 为什么零点定理成立（二分法）#

把 $[a,b]$ 对半分，总有一半端点处函数值异号；不断对半分，得到一串长度趋于 $0$ 的闭区间，它们收缩到一点 $\xi$。由连续性，$f(\xi)$ 既 $\le0$ 又 $\ge0$，所以 $f(\xi)=0$。