高数速成复习 02：导数与微分

1. 导数的定义#

大白话：导数是函数在一点处的瞬时变化率，几何意义是切线斜率。

2. 左右导数#

$f$ 在 $x_0$ 可导 $\iff$ 左右导数都存在且相等。

3. 可导与连续#

反例：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导（左导数 $-1$，右导数 $1$，图像有尖点）。

4. 微分#

若 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 可微，$\mathrm dy=A\Delta x$。

对一元函数：可微 $\iff$ 可导，且 $\mathrm dy=f'(x_0)\,\mathrm dx$。

一阶微分形式不变性：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，都有 $\mathrm d f(u)=f'(u)\,\mathrm du$。这在隐函数和后面的积分换元中很有用。

1. 基本导数表#

2. 求导法则#

3. 反函数、参数方程#

4. 常见 n 阶导数#

5. 莱布尼茨公式#

形式和二项式定理一样。适用于一个因子是多项式的情况，因为多项式求几次导就变成 $0$，求和只剩几项。

6. 切线与法线#

曲线 $y=f(x)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处：

题型 1：已知极限，求导数#

识别特征：题目给出含 $f$ 的极限，问 $f'(x_0)$。

解法：把所给极限凑成导数定义的形式。常用两个技巧：

• 先由“分母趋于 $0$、极限存在”推出 $f(x_0)$ 的值；
• 分子加一项减一项 $f(x_0)$，拆成两个定义式。

例 1 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，求 $f(0)$ 和 $f'(0)$。

解 分母 $\to0$，极限存在，所以 $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$；又 $f$ 连续，得 $f(0)=0$。于是

例 2 设 $f'(x_0)$ 存在，求 $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}$。

解 加一项减一项 $f(x_0)$：

题型 2：判断可导（选择题陷阱）#

解法：对照“一端固定、另一端从两侧动、分母一致”三条逐一检查。

例 3 设 $f(0)=0$，下列哪个条件能推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导？

• (A) $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h}$ 存在
• (B) $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1-\cos h)}{h^2}$ 存在
• (C) $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(h^3)}{h^3}$ 存在
• (D) $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(2h)-f(h)}{h}$ 存在

解

• (A) 两端都动，没有固定的 $f(0)$。反例：$f(x)=|x|$，分子恒为 $0$，极限存在，但 $f$ 在 $0$ 处不可导。
• (B) $1-\cos h\ge0$，动点只从右侧趋于 $0$，只能推出右导数 $f'_+(0)$ 存在。反例同样是 $|x|$。
• (C) $t=h^3$ 能从两侧趋于 $0$，$\dfrac{f(h^3)}{h^3}=\dfrac{f(t)-f(0)}{t}$，正好是定义式。能推出。
• (D) 两端都动。反例：$f(0)=0$，$x\ne0$ 时 $f(x)=1$。分子 $f(2h)-f(h)$ 恒为 $0$，极限存在，但 $f$ 在 $0$ 处不连续，更不可导。

答案为 $\boxed{\text{C}}$。

题型 3：分段函数与绝对值函数的可导性#

解法：

• 分段点：必须用定义分别求左右导数，不能直接对两段公式求导后代入（除非已知导函数在该点的极限存在）。
• 含参数：先由连续列一个方程，再由左右导数相等列一个方程。
• 绝对值：用下面这个结论。

例 4 设 $f(x)=\begin{cases}e^x,&x\le0\\ax+b,&x>0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处可导，求 $a,b$。

解

• 连续：$f(0^+)=b$，$f(0)=e^0=1$，所以 $b=1$。
• 可导：$f'_-(0)=(e^x)'\big|_{x=0}=1$，$f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{ax+1-1}{x}=a$，所以 $a=1$。

答案：$\boxed{a=1,\ b=1}$。

例 5 求 $f(x)=(x^2-x-2)\,|x^3-x|$ 的不可导点个数。

解 $|x^3-x|=|x|\,|x-1|\,|x+1|$，可疑点为 $x=0,1,-1$。对每个点，把其余因子看成 $\varphi(x)$：

不可导点共 $\boxed{2}$ 个。

题型 4：复合函数与对数求导法#

解法：

• 复合函数：从外往里一层层求导，每层乘上里一层的导数。
• 幂指函数 $u^v$、多个因子连乘除、带根号：先取对数再求导。

例 6 求 $y=x^{\sin x}\ (x>0)$ 的导数。

解 取对数：$\ln y=\sin x\ln x$。两边对 $x$ 求导：

也可以直接写成 $y=e^{\sin x\ln x}$ 再按复合函数求导，结果一样。

题型 5：隐函数求导#

解法步骤：

1. 方程两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 看成 $x$ 的函数，遇到 $y$ 的函数要乘 $y'$；
2. 解出 $y'$；
3. 求二阶导时，对第 1 步的式子再求一次导，然后代入已知的 $x,y,y'$ 的值，比先解出 $y'$ 再求导更省事。

例 7 设 $y=y(x)$ 由 $e^y+xy=e$ 确定，求 $y'(0)$ 和 $y''(0)$。

解 先求点：$x=0$ 时 $e^y=e$，得 $y(0)=1$。

两边对 $x$ 求导：

代入 $x=0,\ y=1$：$ey'+1=0$，所以 $y'(0)=-\dfrac1e$。

对 (1) 再求导：

代入 $x=0,\ y=1,\ y'=-\frac1e$：$e\cdot\dfrac1{e^2}+ey''-\dfrac2e=0$，得 $y''(0)=\boxed{\dfrac{1}{e^2}}$。

题型 6：参数方程求导#

例 8 设 $\begin{cases}x=t-\sin t\\y=1-\cos t\end{cases}$，求 $t=\dfrac\pi2$ 处的 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 和 $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$。

解 一阶：

二阶：先把一阶导数对 $t$ 求导，再除以 $x'(t)$：

代入 $t=\dfrac\pi2$：$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\boxed1$，$\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\boxed{-1}$。

题型 7：反函数的导数#

例 9 设 $y=x+e^x$，$x=x(y)$ 是它的反函数，求 $\dfrac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}$ 在 $x=0$ 处的值。

解 $y'=1+e^x$，$y''=e^x$。$x=0$ 时 $y'=2$，$y''=1$，所以

题型 8：高阶导数#

三种方法：

例 10 求 $y=\dfrac{1}{x^2-3x+2}$ 的 $n$ 阶导数。

解 拆分：$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}$，再套公式：

例 11 求 $y=x^2e^{2x}$ 的 $n$ 阶导数。

解 取 $u=x^2$（只有前 3 阶非零），$v=e^{2x}$：

例 12 设 $f(x)=x^2\ln(1+x)$，求 $f^{(n)}(0)\ (n\ge3)$。

解 泰勒展开中 $x^n$ 的系数等于 $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$。

$x^n$ 对应 $k=n-2$，系数为 $\dfrac{(-1)^{n-3}}{n-2}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n-2}$，所以

题型 9：切线、法线与相关变化率#

例 13 求曲线 $y=\ln x$ 过原点的切线方程。

解 注意“过原点”不代表切点是原点。设切点为 $(a,\ln a)$，切线为 $y-\ln a=\dfrac1a(x-a)$。

代入原点 $(0,0)$：$-\ln a=-1$，得 $a=e$。切线方程为 $\boxed{y=\dfrac xe}$。

例 14（相关变化率） 球的半径以 $2\ \text{cm/s}$ 的速度增大，求半径为 $10\ \text{cm}$ 时体积的增长速度。

解 $V=\dfrac43\pi r^3$，两边对时间 $t$ 求导：

套路：先写出变量之间的关系式，再两边对时间求导。

1. 可导必连续#

所以 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，即连续。

2. 乘积法则#

关键一步是加一项减一项 $u(x+h)v(x)$：

这里用到 $u$ 可导所以连续，$u(x+h)\to u(x)$。

3. 链式法则#

设 $u=g(x)$，$y=f(u)$。直观上：

严格证明还要处理 $\Delta u=0$ 的情况，考试不要求。

4. 反函数与参数方程的二阶导#

都是链式法则：

• 反函数：$\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\dfrac1{y'(x)}$ 是 $x$ 的函数，对 $y$ 求导要乘 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}$： $\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dy^2}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac1{y'}\right)\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=-\frac{y''}{(y')^2}\cdot\frac{1}{y'}=-\frac{y''}{(y')^3}.$
• 参数方程：$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 是 $t$ 的函数，对 $x$ 求导要乘 $\dfrac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\dfrac1{x'(t)}$，所以二阶导是“对 $t$ 求导，再除以 $x'(t)$”。

5. 绝对值结论 $\varphi(x)|x-a|$#

左右导数分别为 $-\varphi(a)$ 和 $\varphi(a)$，两者相等当且仅当 $\varphi(a)=0$。

6. 莱布尼茨公式#

对 $n$ 用数学归纳法。$(uv)'=u'v+uv'$ 每求一次导，就相当于把“导数次数”分给 $u$ 或 $v$，系数的组合规律与 $(a+b)^n$ 展开完全相同，所以系数是 $\dbinom nk$。